Question

O número de bactérias de uma colônia t dias após o início da observação é dado por N(t)= N0 . 3^0,5t, em que é a população inicial. Após aproximadamente quantos dias a população será 15 vezes a população inicial?(Use as aproximações: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)

Answer 1

Inicialmente, temos uma população inicial No. Desse forma, uma população 15 vezes maior que a inicial será de 15No. Vamos substituir esse valor na equação para determinar o tempo necessário para que isso ocorra:

$N(t)=N_{0}\times 3^{0,5t} \\ \\ 15N_{0}=N_{0}\times 3^{0,5t}\\ \\ 15=3^{0,5t}$

Nesse momento, devemos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação:

$log(15)=log(3^{0,5t})$

Aplicando a propriedade do expoente, podemos passar o valor de 0,5t multiplicando o logaritmo:

$log(15)=0,5t \times log(3)$

Ainda, podemos escrever o 15 como uma multiplicação entre 3 e 5, de modo a aplicar a propriedade de multiplicação dos logaritmos:

$log(15)=log(3\times 5)=log 3 + log 5$

Então:

$log 3 + log 5=0,5t\times log3\\ \\ 0,48+0,70=0,5\times 0,48\times t\\ \\ t=4,9 \ dias$

Portanto, serão necessários aproximadamente 5 dias para que a população de bactérias aumente sua população inicial em 15 vezes.