Question

o número de algarismos do produto $5^{17}$×$4^{9}$ é igual a:

Answer 1

Vou tentar com logaritmos:

LogN=Log(5¹⁷.4⁹)                                                       Log(a.b) =Loga+Logb
LogN=Log 5¹⁷                   + Log 4⁹                             Log a² = 2Log a
LogN=17.Log 5                 + 9 Log 4                           5 = 10/2
LogN=17. Log(10/2)          + 9 Log 2²                         Log(a/b) = Loga - Logb
LogN= 17(Log 10 - Log2)  +  9*2 . Log 2                    Log 10   =  1
LogN= 17(1-Log2)             +  18 Log 2
LogN= 17   -  17Log2        +  18Log 2
LogN= 17 + Log2                                                        Log2 = 0,3010
LogN = 17+ 0,3010
LogN= 17,3010 

Na regra basta adicionar uma (1) unidade, Então: 

N+1=
17+1 = 18 

Esse número tem 18 algarismos. 

Ps.: Coloquei espaço ali em cima para facilitar melhor a compreensão. :)

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Outro modo:

5¹⁷.4⁹  =  5¹⁷ . (2²)⁹   =  5¹⁷.2¹⁸ = 5¹⁷ . 2¹.2¹⁷ 

Pode multiplicar as bases quando os expoentes forem iguais: 

2¹ . 5¹⁷.2¹⁷  = 2.10¹⁷

Esse número vai ter 17 zeros por conta do 10¹⁷ mais o algarismo 2 . Ou seja 18 algarismos. 

Seria o 200 quadrilhões

200.000.000.000.000.000