Question

O número complexoz=6i^25+(2i)^6+i^3  é igual a quanto?​

Answer 1

Vamos começar lembrando que as potencias da unidade complexa "i" obedecem um ciclo, veja:

$\left\{\begin{matrix}i^1&=&i \\ i^2&=&-1 \\ i^3&=&-i \\ i^4&=&1 \end{matrix}\right.$

A partir dai, os valores começam a se repetir, ou seja, i⁵=i , i⁶=-1, i⁷=-i ....

Com isso, podemos utilizar as propriedades de potencias para "transformar" a expressão dada.

$Z~=~6i^{25}~+~(2i)^6~+~i^3\\\\\\Z~=~6\,.\,i^{\,4\,.\,6+1}~+~2^6\,.\,i^6~+~i^3\\\\\\Z~=~6\,.\,i^{4\,.\,6+1}~+~64\,.\,i^{4+2}~+~i^3\\\\\\Utilizando~a~propriedade~do~produto~de~potencias\\\\\\Z~=~6\,.\,i^{4\,.\,6}\,.\,i^1~+~64\,.\,i^4\,.\,i^2~+~i^3$

$Utilizando~a~propriedade~da~potencia~de~potencia\\\\\\Z~=~6\,.\,\left(i^4\right)^6\,.\,i~+~64\,.\,i^4\,.\,i^2~+~i^3\\\\\\Substituindo~os~valores~conhecidos\\\\\\Z~=~6\,.\,(1)^6\,.\,i~+~64\,.\,(1)\,.\,(-1)~+~(-i)\\\\\\Z~=~6\,.\,1\,.\,i~-~64~-~i\\\\\\Z~=~6i~-~64~-~i\\\\\\\boxed{Z~=~5i~-~64}$