Question

o numero complexo 4i é uma das raízes da equação x4+x3+10x2+16x-96=0. Determine o conjunto solução dessa equação. Me ajudem por favor

Answer 1

Bom dia!

Em um polinômio com coeficientes inteiros se possui um número complexo como raiz também possui o conjugado deste.
Então, se 4i é uma das raízes, -4i também é raiz.
Portanto, este polinômio pode ser dividido por (x-4i)(x+4i)=x^2-(4i)^2=x^2+16
Dividindo, então:

x^4+x^3+10x^2+16x-96    \ x^2+16
                                           --------------------
-x^4       -16x^2                    x^2+x-6
--------------------------------
       x^3-6x^2+16x-96
      -x^3         -16x
--------------------------------
             -6x^2      -96
               6x^2     +96
       ----------------------------
                                 0

Então:
$\frac{x^4+x^3+10x^2+16x-96}{x^2+16}=x^2+x-6$

Agora é só encontrar as outras raízes:
$\Delta=(1)^2-4(1)(-6)=1+24=25\\ x=\frac{-(1)\pm\sqrt{25}}{2(1)}\\ x=\frac{-1\pm{5}}{2}\\ x'=\frac{-1-5}{2}=-3\\ x''=\frac{-1+5}{2}=2$

Então, o conjunto solução desta equação é:
4i, -4i, -3 e 2

Espero ter ajudado!

Answer 2

Ola Karoly 

se  4i é uma raiz  -4i é também uma raiz 
x1 = 4i
x2 = -4i

(x - 4i)*(x + 4i) = x² + 16 

(x4+x3+10x2+16x-96)/(x² + 16) =
x² + x - 6

delta
d² = 1 + 24 = 25
d = 5

x3 = (-1 + 5)/2 = 2
x4 = (-1 - 5)/2 = -3

S = (-4i, 4i, 2, -3)