Question

O número complexo -3i é raiz da equação:
x^4 -2x^3 + x^2 + ax - 72 = 0
em que a é um coeficiente real.
a) Qual é o valor de a?
b) Qual é o conjunto solução dessa equação?​

Answer 1

(-3i)^4 -2(-3i)^3 +(-3i)^2 +a(-3i) -72 = 0

81 -2(-27i^3) -9 -a(3i) -72 = 0

9 -9 +54i^3 -a(3i) = 0

-54i = +a3i

-18i = ai

a = -18

x^4 -2x^3 + x^2 -18x - 72 = 0

-2x^3 -18x +x^4 +x^2 -72 = 0

Se x² = y

-2x(x^2 +9) (+y^2 +y -72) = 0

Produto = -72

Soma = -1 ⇒ Produto entre módulos próximos, diferença de 1.

8 * -9 = 72

8 -9 = -1

-2x * (x^2 +9) +(y -8) * (y +9) = 0

-2x * (x^2 +9) +(x^2 -8) * (x^2 +9) = 0 Evidência

(-2x +x^2 -8) * (x^2 +9) = 0

Produto = -8

Soma = 2

4 * -2 = -8

4 -2 = 2

(x -4) * (x +2) * (x ^2 +9) = 0

(x +2) = 0

x = -2

(x +4) = 0

x = 4

(x^2 +9) = 0

x = ±√(-9)

x = ± 3i

S = {-2 , 4 , 3i , -3i}

Answer 2

Resposta:

a) a = - 18

b) S = {-2, 4, -3i, 3i}        

Explicação passo-a-passo:

Calculo de a

i² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

(-3i)⁴ - 2(-3i)³ + (-3i)² - 3ai - 72 = 0

81i⁴ + 54i³ + 9i² - 3ai - 72 = 0

81.1 - 54(-i) + 9(-1) -3ai - 72 = 0

81  - 54i - 9  -  3ai - 72 = 0

81 - 9 - 72 + (-54 - 3a)i = 0

(-54 - 3a)i = 0

-54 - 3a = 0

3a = -54

a = -54/3

a = -18

Se -3i é raiz a sua conjugada também é, 3i.

Então o polinômio x⁴ - 2x³ + x² - 18x - 72 é divisível por (x - 3i)(x + 3i)= x² + 9

x⁴ - 2x³ + x² - 18x - 72   :   (x² + 9)

-x⁴           -9x²                     x² - 2x - 8

      -2x³   -8x² - 18x  - 72

       2x³            +18x  

                  - 8x²           - 72

                    8x²            +72      

                               0

  Logo:   x⁴ - 2x³ + x² - 18x - 72  =  (x² + 9) (x² - 2x - 8)

As demais raízes, x² - 2x - 8 = 0

Δ = (-2)² - 4.1.(-8)

Δ = 4 + 32

Δ = 36

x = [-(-2) - 6]/2

x = (2 - 6)/2

x = -4/2

x = -2

ou x = [-(-2) + 6]/2

x = (2 + 6)/2

x = 8/2

x = 4

S = {-2, 4, -3i, 3i}