O numero complexo 1-i é raiz do polinômio p(x) de coeficientes reias, onde i é a unidade imaginária. Pode-se afirmar que p(x) é divisível por:
a)x^2-2x+2
b)x^2+2x-2
c)x-1
d)x^2-1
Resposta: a
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1
Vamos lá.
Tem-se que "1-i" é raiz de um polinômio P(x).
Sabendo-se disso, pede-se para determinar por qual função P(x) será divisível e, para isso são dadas várias opções para marcarmos a correta.
Antes veja que se uma das raízes de P(x) é "1-i", então o conjugado dessa raiz também será raiz de P(x), ou seja, então "1+i" também será raiz de P(x).
Assim, qualquer que venha a ser o polinômio P(x), com raízes iguais a, por exemplo, x', x'', x''' e x'''', então ele será divisível por: (x-x') ou por (x-x'') ou por (x-x''') ou por (x-x'''') ou pelo produto de duas ou mais raízes, como: (x-x')*(x-x'') ou (x-x')*(x-x'')*(x-x'''), etc, etc, etc.
Assim, como já temos que uma raiz é "1-i" e a outra é "1+i", então P(x) será divisível pelo produto de (x-(1-i))*(1-(1+i)), ou seja, chamando essa função de um certo f(x), teremos que:
f(x) = (x-(1-i))*(x-(1+i)) ----- retirando-se os parênteses, teremos:
f(x) = (x-1+i)*(x-1-i) ---- efetuando este produto, obteremos:
f(x) = x² - x - xi -x + 1 + i + xi - i - i² --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
f(x) = x² - 2x + 1- i² ---- veja que i² = - 1. Assim, substituindo, teremos:
f(x) = x² - 2x + 1 - (-1)
f(x) = x² - 2x + 1 + 1
f(x) = x² - 2x + 2 <---- Esta é a resposta. Opção "a". Ou seja, P(x) será divisível por f(x), que é a função resultante do produto de (x-(1-i))*(x-(1+i)).
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Tem-se que "1-i" é raiz de um polinômio P(x).
Sabendo-se disso, pede-se para determinar por qual função P(x) será divisível e, para isso são dadas várias opções para marcarmos a correta.
Antes veja que se uma das raízes de P(x) é "1-i", então o conjugado dessa raiz também será raiz de P(x), ou seja, então "1+i" também será raiz de P(x).
Assim, qualquer que venha a ser o polinômio P(x), com raízes iguais a, por exemplo, x', x'', x''' e x'''', então ele será divisível por: (x-x') ou por (x-x'') ou por (x-x''') ou por (x-x'''') ou pelo produto de duas ou mais raízes, como: (x-x')*(x-x'') ou (x-x')*(x-x'')*(x-x'''), etc, etc, etc.
Assim, como já temos que uma raiz é "1-i" e a outra é "1+i", então P(x) será divisível pelo produto de (x-(1-i))*(1-(1+i)), ou seja, chamando essa função de um certo f(x), teremos que:
f(x) = (x-(1-i))*(x-(1+i)) ----- retirando-se os parênteses, teremos:
f(x) = (x-1+i)*(x-1-i) ---- efetuando este produto, obteremos:
f(x) = x² - x - xi -x + 1 + i + xi - i - i² --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
f(x) = x² - 2x + 1- i² ---- veja que i² = - 1. Assim, substituindo, teremos:
f(x) = x² - 2x + 1 - (-1)
f(x) = x² - 2x + 1 + 1
f(x) = x² - 2x + 2 <---- Esta é a resposta. Opção "a". Ou seja, P(x) será divisível por f(x), que é a função resultante do produto de (x-(1-i))*(x-(1+i)).
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
rafael1102:
Entendi perfeitamente! Muito obrigado!
Disponha sempre.
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