Question

O numero 665 é termo desta sequência?
0,7,14,21,...

Answer 1

Sim. Porque a sequência tem múltiplos de 7 e 665 ÷ 7 dá 95.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Malucm, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para informar se o número "665" é termo da sequência abaixo:

(0; 7; 14; 21; .....)

ii) Note que a sequência acima é uma PA, cujo primeiro termo (a₁) é igual a "0" e cuja razão (r) é igual a "7".
Você deve notar que qualquer termo de uma PA que tenha o seu primeiro termo igual a "0" deverá ser, necessariamente, divisível pela razão (r). Então o número "665", para poder fazer parte dessa sequência, terá que ser divisível por "7". Vamos ver se é: 665/7 = 95 e não sobra resto. Então 665 é divisível pela razão (7). Então a resposta para esta questão será:

665 é termo da sequência dada <--- Esta é a resposta.

E note uma coisa interessante: o número "665" será o 96º termo da sequência dada, pois ela começa em "0".
Veja como isso é verdade. Vamos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA e vamos provar que o número "665" será o 96º termo dessa PA.
A fórmula do termo geral de uma PA é esta:

a ̪  = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima, substituiremos "a ̪ " por "665", que é o termo que seria o termo base a partir do qual queremos encontrar o valor de "n". Por sua vez, substituiremos "a₁" por zero, que é o primeiro termo; e finalmente, substituiremos "r' por "7", que é a razão da PA. Assim, fazendo essas substituições, teremos:

665 = 0 + (n-1)*7 ----- desenvolvendo, teremos:
665 = 0 + 7n - 7 --- ou apenas:
665 = 7n - 7 ---- passando "-7" para o 1º membro, temos:
665 + 7 = 7n
672 = 7n --- ou, invertendo-se, o que é a mesma coisa:
7n = 672 ---- isolando "n", teremos:
n = 672 / 7 ---- note que esta divisão dá exatamente "96". Logo:
n = 96 <---- Veja como é verdade. Ou seja, veja como o número 665 é, realmente,  o 96º termo da sequência dada na sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.