Question

) O número 2⁴ · 3ᵅ · 53 tem 120 divisores. Qual é o valor de a?

Answer 1

Para resolver essa questão é preciso ter conhecimento sobre decomposição de um número inteiro positivo em fatores primos.

É possível descobrir a quantidade de divisores de um número inteiro positivo, utilizando a sua forma fatorada com fatores primos. Para isso você vai fazer o seguinte: vai pegar o expoente de todos os fatores primos e para cada um expoente você irá somar em uma unidade, feito todas as somas, você irá multiplicar as somas, o resultado dessa multiplicação, será a quantidade de divisores que o número possui. O número que o enunciado deu, foi decomposto em fatores primos, observe a decomposição $2^{4}.3^{a}.53$, todos os fatores são primos, sendo eles $2, 3\:e\:53$. Com isso iremos fazer o procedimento dito acima para encontrar a quantidade de divisores desse número.

$(4 + 1).(a + 1).(1 + 1) = 5.(a + 1).2 = 10.(a + 1)$

Acima peguei o expoente de cada fator primo, somei em uma unidade e depois multipliquei. Perceba que o enunciado diz que o número que foi decomposto, possui $120$ divisores, ou seja, vamos igualar o nosso produto acima ao $120$, depois é só desenvolver e encontrar o valor de $a$.

$10.(a + 1) = 120\\\\10.a + 10 = 120\\\\10.a = 110\\\\a = \frac{110}{10}\\\\a = 11$

Espero ter ajudado!