Question

O número 2^48 - 1 é divisível por dois números compreendidos entre 60 e 70. Quais são esses números?
a) 61 e 63
b) 61 e 65
c) 63 e 65
d) 63 e 67
e) 67 e 69
por favor, mostrar resolução :)

Answer 1

Vamos lembrar de uma identidade algébrica notável:

a^(n)-b^(n)=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^(2)+...+ab^(n-2)+b^(n-1)]

(Onde “a” e “b” são reais quaisquer e “n” é um natural maior ou igual a 1)


Vamos à resolução do exercício:

2^(48)-1^(48)=[2^(24)]^(2)-[1^(24)]^(2)=[2^(24)+1][2^(24)-1]=
[2^(24)+1][2^(24)-1^(24)]=
[2^(24)+1]{[2^(12)]^(2)-[1^(12)]^(2)}
[2^(24)+1][2^(12)+1][2^(12)-1]=
[2^(24)+1][2^(12)+1][2^(6)+1][2^(6)-1]

Isso acarreta que:

2^(48)-1=[2^(24)+1][2^(12)+1].(65).(63)


Ou seja,está provada a divisibilidade por “65” e “63”.


Letra c)





Abraços!