Question

O número √(1+∛4 + ∛16) está situado entre:
a) 1 e 1,5
b) 1,5 e 2
c) 2 e 2,5
d) 2,5 e 3
e) 3,4 e 4
Queria que resolvesse sem usar calculadora. Gostaria de conhecer a técnica para se chegar ao resultado.
quando eu estava resolvendo percebi uma coisa. Que (1 + ∛4 + ∛16) = [1 + 2∛2 + (∛2)²]= (1+∛2)². Daqui pra frente não consegui prosseguir.

Answer 1

O número dado equivale a 1 + ∛2 e situa-se entre 2 e 2,5. Item correto: c).

Acho que o mais difícil já foi feito, que foi transformar o radicando 1 + ∛4 + ∛16 em (1 + ∛2)². Sei que você já sabe como realizar tal transformação, no entanto, ainda sim preciso explicitar o passo a passo de como realizá-la. Dado o número real $\boldsymbol{\sf\sqrt{\sf 1+\sqrt[\sf 3]{\sf 4}+\sqrt[\sf 3]{\sf 16}}}$, objetivamos descobrir qual intervalo, dentre os fornecidos nas alternativas, contém o seu valor. Para isso, vamos primeiramente reescrevê-lo:

$\begin{array}{l}\sf\sqrt{\sf 1+\sqrt[\sf 3]{\sf 4}+\sqrt[\sf 3]{\sf 16}}=\sqrt{1+\sqrt[\sf 3]{\sf 2^2}+\sqrt[\sf 3]{\sf 8\cdot 2}}\\\\ \sf\sqrt{\sf 1+\sqrt[\sf 3]{\sf 4}+\sqrt[\sf 3]{\sf 16}}=\sqrt{1+\sqrt[\sf 3]{\sf 8}\cdot\sqrt[\sf 3]{\sf 2}+\big(\sqrt[\sf 3]{\sf 2}^{}{}^{}\big)^{\!\:\!2}}\\\\ \sf\sqrt{\sf 1+\sqrt[\sf 3]{\sf 4}+\sqrt[\sf 3]{\sf 16}}=\sqrt{1^2+2\cdot 1\cdot\sqrt[\sf 3]{\sf 2}+\big(\sqrt[\sf 3]{\sf 2}^{}{}^{}\big)^{\!\:\!2}}\qquad\boldsymbol{\sf (\:{}^{}1\:)}\end{array}$

Fazendo a = 1 e b = ∛2 na identidade algébrica (a + b)² = a² + 2ab + b² — válida ∀a ∈ ℂ e ∀b ∈ ℂ —, temos que a igualdade ( 1 ) fica:

$\begin{array}{l}\sf\sqrt{1+\sqrt[\sf 3]{\sf 4}+\sqrt[\sf 3]{\sf 16}}=\sqrt{\big(1+\sqrt[\sf 3]{\sf 2}^{}\big)^{\!\:\!2}}\\\\ \sf\sqrt{1+\sqrt[\sf 3]{\sf 4}+\sqrt[\sf 3]{\sf 16}}=\big|1+\sqrt[\sf 3]{\sf 2}^{}{}^{}{}^{}\big|\\\\ \sf\sqrt{1+\sqrt[\sf 3]{\sf 4}+\sqrt[\sf 3]{\sf 16}}= 1+\sqrt[\sf 3]{\sf 2}\end{array}$

Ufa! Veja que o problema ficou menos assustador ksks Antes tínhamos o laborioso trabalho de estipular o valor de uma expressão aparentemente irredutível, agora basta avaliarmos o valor da expressão equivalente 1 + ∛2. Recordando que ∛1 < ∛2 < ∛8  ⇔  1 < ∛2 < 2, podemos garantir que 1 + 1 < 1 + ∛2 < 1 + 2  ⇔  2 < 1 + ∛2 < 3, ou seja, ou a resposta é letra c) ou é letra d). Repare ainda que os extremos do intervalo aberto encontrado anteriormente são os números 2 e 3, logo o ponto médio do referido intervalo (analogamente ao que fazemos com intervalos de classe na Estatística Descritiva) é nada mais, nada menos que a média aritmética dos extremos, isto é, tem valor igual a (2 + 3)/2 = 2,5, sendo este o mesmo valor que se situa em um dos extremos de cada intervalo nos itens c) e d). Em vista disso, o nosso único trabalho agora é comparar o valor da expressão 1 + ∛2 com o ponto médio 2,5, ou, equivalentemente, comparar 1 + ∛2 – 1 = ∛2 com 2,5 – 1 = 1,5. É óbvio que ∛2 < 1,5, mas é preciso provar a validade desta desigualdade. Provar isso é muito simples, é só elevar os dois lados da desigualdade à terceira potência e verificar se a nova desigualdade continua válida, ou, melhor ainda, podemos partir da expressão final (já conhecida) e usar a equivalência das desigualdades para atestar a veracidade da desigualdade inicial, mais ou menos da seguinte forma: 2 < 2,25  ⇔  2 < (1,5)²  ⇔  2 < (1,5)³  ⇔  ∛2 < 1,5  ⇔  1 + ∛2 < 2,5. Portanto, concluímos que:

 

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\\ \sf 2<\underbrace{\sf\sqrt{1+\sqrt[\sf 3]{\sf 4}^{}+\sqrt[\sf 3]{\sf 16}}}_{1^{}{}^{}+\sqrt[\sf 3]{\sf 2}}<2{,}5\\\\ \end{array}}}}}$

Answer 2

Resposta:

√(1+∛4 + ∛16)

√(1+∛2² + ∛2⁴)

√(1+∛2² + ∛2³*2)

√(1+∛2² + 2∛2)

√(1+ 2∛2+∛2² ) =√(1+∛2)²=1+∛2

Sabemos que   1 < ∛2 < √2

1+1 < 1+∛2 < 1+√2

2< 1+∛2 < 1+1,41

2< 1+∛2 <2,41

c) 2 e 2,5