Question

O nono termo de uma progressão aritmética é igual a 9 e a soma dos oito primeiros termos dessa progressão é 45. Encontre os três primeiros termos da progressão aritmética.

Answer 1

Perceba que:

a2 = a1 + r

a3 = a1 + 2r

a4 = a1 + 3r

a5 = a1 + 4r

a6 = a1 + 5r

a7 = a1 + 6r

a8 = a1 + 7r

a9 = a1 + 8r

Como a soma dos 8 primeiros termos da Progressão Aritmética é igual a 45, então:

a1 + a1 + r + a1 + 2r + a1 + 3r + a1 + 4r + a1 + 5r + a1 + 6r + a1 + 7r = 45

8a1 + 28r = 45 (*)

Além disso, se incluirmos o nono termo, a soma será igual a 45 + 9 = 54.

Assim, pela fórmula da soma dos termos de uma P.A.:

$54 = \frac{(a_{1} + a_{9}).9}{2}$

a1 + a9 = 12

a1 + a1 + 8r = 12

2a1 + 8r = 12 (**)

Com as equações (*) e (**) podemos montar o seguinte sistema:

{8a1 + 28r = 45

{2a1 + 8r = 12

Multiplicando a segunda equação por -4:

{8a1 + 28r = 45

{-8a1 - 32r = -48

Logo,

-4r = -3

$r = \frac{3}{4}$ → essa é a razão da Progressão Aritmética.

Substituindo o valor de r na segunda equação:

2a1 + 6 = 12

2a1 = 6

a1 = 3 → esse é o primeiro termo da Progressão Aritmética.

Portanto, os três primeiros termos da Progressão Aritmética são:

a1 = 3

a2 = 3 + 3/4 = 15/4

a3 = 15/4 + 3/4 = 18/4