Question

O N° De peixes de certa espécie no Rio Amazonas é calculado pela fórmula n(t)=5000.e^0,02t em que n(t) é o N° de peixes estimados em t anos. Contando a partir de hoje (t=0), podemos dizer que o N° mínimo de anos para que o cardume tenha 20000 peixes é: (Dado: ln 2= 0,69)

Answer 1

Utilizando a função exponencial e propriedades logaritmicas, temos que esperar 69 anos para se chegar a esta população.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte função exponencial para o número N de peixes:

$N(t)=5000.e^{0,02t}$

E queremos saber quando N vai ser igual a 20000, então basta igualar esta função:

$N(t)=5000.e^{0,02t}=20000$

$5000.e^{0,02t}=20000$

$e^{0,02t}=\frac{20000}{5000}$

$e^{0,02t}=4$

Agora vamos aplicar logaritmo natural Ln do dois lados:

$e^{0,02t}=4$

$Ln(e^{0,02t})=Ln(4)$

Logaritmo natural é na base da exponencial natural, ou seja, os dois se cortam:

$Ln(e^{0,02t})=Ln(4)$

$0,02t=Ln(4)$

Agora vamos transformar o 4 em potencia:

$0,02t=Ln(4)$

$0,02t=Ln(2^2)$

E expoentes em logaritmos vão para fora virando multiplicadores:

$0,02t=Ln(2^2)$

$0,02t=2.Ln(2)$

Substituindo o valor dado logaritmo natural:

$0,02t=2.Ln(2)$

$0,02t=2.0,69$

$0,02t=1,38$

$t=\frac{1,38}{0,02}$

$t=69$

Assim temos que esperar 69 anos para se chegar a esta população.