Question

O movimento de uma partícula é definido pela relação x=5/3 t^3-5/2 t^2-30t+8, onde x e t são expressos em metros e segundos, respectivamente. Determine o tempo, a posição e a aceleração quando v = 0.

Answer 1

Olá, boa noite.

O movimento de uma partícula é definido pela relação $x(t)=\dfrac{5}{3}t^3-\dfrac{5}{2}t^2-30t+8$, onde $x$ e $t$, são expressos, respectivamente, em metros e segundos.

Devemos determinar o instante, a posição e a aceleração desta partícula quando $v(t)=0$.

Primeiro, devemos calcular a função velocidade. Lembre-se que $v(t)=\dfrac{d}{dt}(x(t))$, logo teremos:

$v(t)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{5}{3}t^3-\dfrac{5}{2}t^2-30t+8\right)$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada é um operador linear, logo valem as seguintes propriedades: $\dfrac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\dfrac{df}{dx}+\dfrac{dg}{dx}$ e $\dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot\dfrac{df}{dx}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero, de acordo com a propriedade acima.

Aplique a linearidade

$v(t)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{5}{3}t^3\right)+\dfrac{d}{dt}\left(-\dfrac{5}{2}t^2\right)+\dfrac{d}{dt}(-30t)+\dfrac{d}{dt}(8)\\\\\\ v(t)=\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{d}{dt}(t^3)-\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{d}{dt}(t^2)+-30\cdot\dfrac{d}{dt}(t)+\dfrac{d}{dt}(8)$

Aplique a regra da potência

$v(t)=\dfrac{5}{3}\cdot3\cdot t^{3-1}-\dfrac{5}{2}\cdot2\cdot t^{2-1}-30\cdot1\cdot t^{1-1}+0\\\\\\ v(t)=5t^2-5t-30$

Então, calculamos o instante $t$ quando $v(t)=0$.

$v(t)=0\\\\\\ 5t^2-5t-30=0\\\\\\ t=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot5\cdot(-30)}}{2\cdot5}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$t=\dfrac{5\pm\sqrt{25+600}}{10}\\\\\\ t=\dfrac{5\pm\sqrt{625}}{10}$

Calcule o radical e separe as soluções

$t=\dfrac{5\pm25}{10}\\\\\\ t_1=\dfrac{5-25}{10}~~\bold{ou}~~t_2=\dfrac{5+25}{10}$

Some os valores e simplifique as frações

$t_1=-2~~\bold{ou}~~t_2=3$

Calculando a posição desta partícula nestes instantes, temos:

$x(-2)=\dfrac{5}{3}\cdot(-2)^3-\dfrac{5}{2}\cdot(-2)^2-30\cdot(-2)+8\\\\\\ x(-2)=\dfrac{5}{3}\cdot(-8)-\dfrac{5}{2}\cdot 4+60+8\\\\\\ x(-2)=-\dfrac{40}{3}-10+68\\\\\\ x(-2)=\dfrac{134}{3}~~\checkmark$

$x(3)=\dfrac{5}{3}\cdot3^3-\dfrac{5}{2}\cdot3^2-30\cdot3+8\\\\\\ x(3)=\dfrac{5}{3}\cdot27-\dfrac{5}{2}\cdot9-90+8\\\\\\ x(3)=45-\dfrac{45}{2}-82\\\\\\ x(3)=-\dfrac{119}{2}~~\checkmark$

Ainda devemos determinar a aceleração desta partícula nestes instantes.

Antes, devemos calcular a função aceleração. Lembre-se que $a(t)=\dfrac{d}{dt}(v(t))$, logo teremos:

$a(t)=\dfrac{d}{dt}(v(t))\\\\\\ a(t)=\dfrac{d}{dt}(5t^2-5t-30)$

Aplique a linearidade

$a(t)=\dfrac{d}{dt}(5t^2)+\dfrac{d}{dt}(-5t)+\dfrac{d}{dt}(-30)\\\\\\ a(t)=5\cdot \dfrac{d}{dt}(t^2)-5\cdot\dfrac{d}{dt}(t)+\dfrac{d}{dt}(-30)$

Aplique a regra da potência

$a(t)=5\cdot 2\cdot t^{2-1}-5\cdot1\cdot t^{1-1}+0\\\\\\ a(t)=10t-5$

Calculando a aceleração da partículas nos instantes calculados anteriormente, temos:

$a(-2)=10\cdot(-2)-5\\\\\\ a(-2)=-20-5\\\\\\ a(-2)=-25~~\checkmark\\\\\\\ a(3)=10\cdot3-5\\\\\\ a(-2)=30-5\\\\\\ a(-2)=25~~\checkmark$

Estas são as respostas que buscávamos.