Question

O movimento de um projétil é descrito pela equação f(t)=-20t2+200t, onde t é o tempo, em segundos, e f(t) é a altura, em metros, atingida pelo projétil segundos após o lançamento.


Dica: a altura máxima atingida pelo projétil corresponde ao vórtice da parábola descrita pela equação -20t2+200t.

Efetue os cálculos e responda:

a)Qual vai ser a altura máxima atingida?

b) Por quanto tempo o projétil permanecerá no ar?

Toda a resolução para determinar a resposta deve ser apresentada.

Answer 1

Boa noite,

a) Altura máxima

f ( t )  = - 20 t ² + 200 t

a = - 20  ;   b = 200  ; c = 0  , porque é equação de 2 º grau da forma

a t ² + b t + c = 0

Como a = - 20 , coeficiente de t ² , temos um parábola com a concavidade virada para baixo

Terá um máximo na ordenada do seu vértice.

Cálculo das coordenadas do Vértice ( - b / 2 a  ;  - Δ / 4 a )

Δ = binómio discriminante = b ² -  4 a c

Vértice ( - 200 / - 40   ;    [ - ( 200 ² - 4 * ( - 20 ) * 0 ]  /  [  4 * ( - 20 ) ]

Vértice (  5  ;   [ -  ( 40 000 - 0 ) ]   /  ( - 80 ) ]  =  ( 5   ;   40 000 / 80 ) =

= ( 5  ;  500 )

Terá um máximo na ordenada do seu vértice.
Como a ordenada do vértice é 500 , terá pois um máximo a 500 m de altitude.


b) O projétil inicia o seu trajeto quando o tempo é igual a  0 segundos.

O projétil termina a sua trajetória quando volta a tocar no solo.

Em termos matemáticos estes dois momentos, são quando f ( t )   = 0

Isto é os zeros da função.

- 20 t ² + 200 t = 0    ⇔

decompondo o 1º membro em fatores

⇔   t  ( - 20 t + 200 ) = 0  ⇔

⇔   t = 0   ∨   - 20 t + 200 = 0  ( aplicada a lei do anulamento de um produto)

⇔ t = 0   ∨ - 20 t = - 200  

⇔ t = 0   ∨  t  = (- 200 ) / ( - 20 ) ⇔  t = 0   ∨   t = 10

t = 0   ⇒ momento do lançamento do projétil

t = 10  ⇒ momento em que o projétil atinge o solo., no fim do seu percurso

Como t expresso em segundos, o projétil atinge do solo ao fim de 10 segundos.

Resposta: permanece no ar durante 10 segundos

Espero ter ajudado.
Qualquer dúvida, faça um comentário.
Bom estudo.