Question

O módulo e o argumento do complexo (raiz de 3 + i)^8 são, respectivamente:

a) 44 e 3pi/4
b) 28 e 8pi/3
c) 48 e 8pi/9
d) 38 e 5pi/4
e) n.d.a

Answer 1

De acordo com o resultado obtido podemos concluir que:

$\textstyle \sf \sf \mid z \mid = 4^4 ~ e ~ \arg{(z)} = \dfrac{4\: \pi}{3}$  e tendo alternativa correta a letra A.

A potência $\textstyle \sf \sf z^n$, $\textstyle \sf \sf n \in \mathbb{N}^{\ast}$, é dada por:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ z^n = \underbrace{\sf z \cdot z \dotsi z }_{ \sf n \: \: fatores} } }$

Se um número complexo Z está escrito na forma trigonométrica

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{z = \mid z \mid \cdot ( \cos{\theta} + i \cdot \sin{ \theta}) } }$, temos:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ z^n = \mid z \mid ^n \cdot [ \cos { ( n \cdot \theta)}+ i \cdot \sin{ ( n \cdot \theta)}] } } }$

Fórmula de De Moivre.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf \mid z \mid = \:?\\ \sf \arg(z) = \:?\\ \sf (\sqrt{3} + i )^8\\ \sf n = 8 \end{cases} } }$

Solução:

Primeiramente devemos calcular o módulo de z:

$\Large \displaystyle \mathsf{ z = a +b\cdot i }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid z \mid = \sqrt{a^{2} + b^{2} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid z \mid = \sqrt{ (\sqrt{3})^2 + 1^{2} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid z \mid = \sqrt{ 3 + 1 } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid z \mid = \sqrt{ 4 } } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \mid z \mid = 2 }$

Para determinar o argumento do número complexo $\textstyle \sf \sf z = (\sqrt{3} + i)^8$, fazemos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \left.\begin{array}{c} \sf \cos{\theta} = \dfrac{a}{\mid z \mid} = \dfrac{\sqrt{3} }{2} \\ \\ \sf \sin{\theta} = \dfrac{b}{\mid z \mid} = \dfrac{1 }{2} \end{array} \right\} \quad \theta = \dfrac{\pi}{6} } }$

Subsistindo, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ z^n = \mid z \mid ^n \cdot [ \cos { ( n \cdot \theta)}+ i \cdot \sin{ ( n \cdot \theta)}] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ z^8 = \mid 2 \mid ^8 \cdot \left [ \cos { \left( 8 \cdot \dfrac{\pi}{6} \right) }+ i \cdot \sin{ \left( 8 \cdot \dfrac{\pi}{6} \right) }\right ] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ z^8 = 2^{8} \cdot \left [ \cos { \left( \diagup\!\!\!{ 8} \:{}^{ 4 } \cdot \dfrac{\pi}{ \diagup\!\!\!{ 6} \:{}^{ 3 } } \right) }+ i \cdot \sin{ \left( \diagup\!\!\!{ 8} \:{}^{ 4 } \cdot \dfrac{\pi}{ \diagup\!\!\!{ 6} \:{}^{ 3 } } \right) }\right ] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ z^8 = 256 \cdot \left [ \cos { \left( \dfrac{ 4\:\pi}{ 3 } \right) }+ i \cdot \sin{ \left( \dfrac{4\:\pi}{ 3 } \right) }\right ] } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf z^8 = 4^4\cdot \left [ \cos { \left( \dfrac{ 4\:\pi}{ 3 } \right) }+ i \cdot \sin{ \left( \dfrac{4\:\pi}{ 3 } \right) }\right ] }$

Alternativa correta  é a letra  A.

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