Matemática, perguntado por lyana707, 9 meses atrás

O modulo do número complexo\frac{2+i^{2021} }{1-i^{2023} } é:
a) \frac{\sqrt{10} }{2}
b)5\sqrt{2}
c)4
d)10
e)\frac{\sqrt{10} }{10}

Soluções para a tarefa

Respondido por CarlosEduardoFCruz
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Olá!

Logo de início, o que pode assustar são os expoentes — 2021 e 2023. Mas, podemos obter, para as potências, os mesmos resultados dividindo os seus dois últimos algarismos (21 e 23)  por 4, a fim de se obter o resto da divisão. Pois bem, os respectivos restos são 1 e 3.

Há uma propriedade das potências de base i segundo a qual:

i^{4n}=1 ; i^{4n+1}=i ; i^{4n+2}=-1 e i^{4n+3}=-i

Assim, temos que:

i^{2021}=i^{21}=i^{4n+1}=i\\\\i^{2023}=i^{4n+3}=-i

n, para ambas, é igual a 5.

A fração fica, portanto:

\frac{2+i}{1-(-i)}=\frac{2+i}{1+i}

Para racionalizá-la, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado deste último, que é 1 - i.

\frac{(2+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i+i-i^2}{1^2-i^2}=

=\frac{3-i}{2}=\frac{3}{2}-(\frac{1}{2})i

O módulo, por fim, é:

|Z|=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{1}{4}}=

\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}

A resposta é a)

Espero ter ajudado!

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