Question

O módulo da diferença de dois vetores A-> e B->
é igual a 1 e a soma dos seus quadrados é igual a 5. Calcule os módulos de A-> e B->

por favor com cálculo.

Answer 1

Os dois pares de valores possíveis dos módulos dos vetores são: A = 2 e B = 1, e A = -1 e B = -2.

Considerando os dois vetores A e B, de modo que a diferença dos dois vetores seja 1 e a soma dos seus quadrados seja 5, temos as duas equações:

A - B = 1

A² + B² = 5

Isolando A na primeira equação e substituindo na segunda equação:

A = 1 + B

(1 + B)² + B² = 5

(1 +  B² + 2B) + B² = 5

2B² + 2B + 1 - 5 = 0

2B² + 2B - 4 = 0

B² + B - 2 = 0

o que nos levou a uma equação do segundo grau. Calculando Δ e usando a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes da função quadrática em B:

Δ = b² - 4.a.c = 1² - 4.1.(-2) = 9

$B = \frac{-1 +/-\sqrt{9} }{2.1}$

$B_{1} = \frac{-1+3}{2} = 1$

$B_{2} = \frac{-1-3}{2} = -2$

Para B = 1:

A = 1 + B = 1 + 1 = 2

Para B = -2:

A = 1 + B = 1 + (-2) = -1

Testando se as duas raízes satisfazem as duas primeira condições:

- Se A = 2 e B = 1:

A - B = 1 -> 2 - 1 = 1 (satisfaz)

A² + B² = 5 -> 2² + 1² = 5 (satisfaz)

- Se A = -1 e B = -2:

A - B = 1 -> -1 - (-2) = 1 (satisfaz)

A² + B² = 5 -> (-1)² + (-2)² = 5 (satisfaz)