Matemática, perguntado por Júnior, 5 meses atrás

O MMC de dois números naturais é 80. A soma dos quocientes desses números pelo seu MDC é 6. Qual é o menor dos dois números?

(Resposta: 16)

OBS: resposta deve ter cálculos e explicação.

Usuário anônimo: "A soma dos quocientes desses números pelo seu MDC é 6" você quis dizer que o mmd(a,b)+q (quociente) = 6?

Júnior: (a+b) / mdc(a.b) = 6

Soluções para a tarefa

Respondido por PhillDays

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⠀⠀☞ Tendo combinado as duas condições de MMC e MDC encontramos 2 pares candidatos à solução, porém ao testa-los quanto ao MMC descobrimos que somente 1 par é a solução, sendo o 16 o menor dos dois números. ✅

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⠀⠀ Vamos inicialmente relembrar que para dois números naturais a e b teremos:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf \dfrac{a \times b}{MDC (a, b)} = MMC (a, b)}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀Com isto sabemos que:

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$\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{a \times b}{MDC (a, b)} = 80 $}}$

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$\LARGE\blue{\text{$\sf~I)~~ MDC (a, b) = \dfrac{a \times b}{80}$}}$

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⠀⠀Pelo enunciado sabemos também que:

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$\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{a + b}{MDC (a, b)} = 6$}}$

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$\LARGE\blue{\text{$\sf~II)~~ \dfrac{a}{MDC (a, b)} + \dfrac{b}{MDC (a, b)} = 6$}}$

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⠀⠀Substituindo I) em II) teremos:

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$\LARGE\blue{\text{$\sf \diagup\!\!\!\!{a} \times \dfrac{80}{\diagup\!\!\!\!{a} \times b} + \diagup\!\!\!\!{b} \times \dfrac{80}{a \times \diagup\!\!\!\!{b}} = 6$}}$

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$\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{80}{b} + \dfrac{80}{a} = 6$}}$

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⠀⠀Sendo a e b dois número naturais, então temos que:

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$\blue{\Large\text{$\sf~~$}\begin{cases}\text{$\sf~i)~~\dfrac{80}{a} < 6~~\longrightarrow~~a > 13 $}\\\\ \text{$\sf~ii)~~\dfrac{80}{b} < 6~~\longrightarrow~~b > 13 $} \end{cases}}$

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⠀⠀Quais são os divisores de 80 maiores que 13?

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$\sf\large\blue{\begin{array}{c|c|l}&\sf\underline{~~F~~}&\sf\underline{~~D~~}\\&&\\~~~~&~~~~&1~~~\\&&\\80&2&2\\&&\\40&2&4\\&&\\20&2&8\\&&\\10&2&\boxed{16}\\&&\\5&5&5, 10,\boxed{20, 40, 80}\\&&\\1&&\\\end{array}}$

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⠀⠀Testando cada um deles temos somente dois pares que satisfazem a condição II):

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$\blue{\Large\text{$\sf~II)~$}\begin{cases}\text{$\sf~1)~~\dfrac{80}{16} + \dfrac{80}{80} = 5 + 1 = 6 $}\\\\ \text{$\sf~2)~~\dfrac{80}{20} + \dfrac{80}{40} = 4 + 2 = 6 $} \end{cases}}$

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⠀⠀Porém temos somente 1 par que resulta em um MMC (a, b) = 80:

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$\LARGE\blue{\text{$\sf MMC (16, 80) = 80$}}$

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⠀⠀Dentre os quais o 16 é o menor deles. ✌

⠀⠀

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{x}~\pink{=}~\blue{ 16 }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre:

⠀

✈ MMC e MDC (brainly.com.br/tarefa/38299506)

✈ Divisores de um número (brainly.com.br/tarefa/38388785)

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$ ✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$ ☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

⠀

( $\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$ ) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$ ✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$

Anexos:

PhillDays: Eu uso basicamente dois comandos:

[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf $}}[/tex]

. \LARGE é para o tamanho da letra (\large\Large\LARGE\huge\HUGE)
. \blue{} é para a cor, visualizável só pelo app (\blue\red\orange\green\pink\gray\purple)
. \text{$$} é para que o \LARGE funcione também pelo navegador (se não funciona só pelo App) e os $$ dentro dele é para que outros códigos, como \dfrac{}{} para fração ou \sqrt[]{} para raiz, funcionem dentro do \text{}
. \sf é o tipo da letra (\sf\mathbb\rm dentre outras)

PhillDays: [tex]\blue{\Large\text{$\sf~~$}\begin{cases}\text{$\sf $}\\\\ \text{$\sf $} \end{cases}}[/tex]

. \begin{cases} \end{cases} é para abrir a chave do lado esquerdo e as opções;
. \\\\ pula duas linhas

PhillDays: Basicamente é isso :)

PhillDays: Para as caixas em volta das respostas você tem duas opções:

. \boxed{\sf} cria uma caixa simples em volta de um texto (eu não gosto muito pois é uma caixa pequena);

PhillDays: . [tex]\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf }&\\&&\\\end{array}}}}}[/tex]

Nesse caso eu criei duas caixas e dentro delas eu criei um "espaço array", que você configura quantas colunas deseja ({rcl} 3 colunas com a primeira alinhada na direita, a segunda no central e a terceira na esqueda) e sempre pulando de linhas com \\

Usuário anônimo: Muito obrigado, vou melhorar bastante a qualidade de minhas respostas agora

PhillDays: Por fim, a tabela pra fatoração eu usei também o espaço array:

\begin{array}{c|c|c}\end{array} sendo que entre a formatação das colunas (letra c) eu adicionei uma barra vertical (alt + 124) que criará uma linha separando as colunas, lembrando que pras linhas serem contínuas você não pode pular duas linhas seguidas mas sim pular uma, adicionar os separadores de colunas "&" e depois pular outra linha.

PhillDays: Acho que com isso aí já dá pra começar a brincar hahaha bons estudos!

PhillDays: Ah, sim, uma última coisa... pra criar os espaços entre os parágrafos ou os espaços para um início de parágrafo use o caracter invisível de espaço "⠀" (copie e cole, ele está entre as aspa) pois ao formatar com LaTeX os espaços são muitas vezes "comidos", principalmente na visualização pelo App.

Respondido por EinsteindoYahoo

MMC(a,b)=80

Os números a e b estão aqui

{80,40,20,16,10,8,5,4,2,1}

a' e b' são os quocientes e a soma a'+b'=6

a=MDC(a,b)*a'

b=MDC(a,b)*b'

** sabemos a é múltiplo de b, ou vice-versa .

Por tentativa

(80,40) ==>a'+b'=2+1

(80,20) ==>a'+b'=2+1

(80,16) ==>a'+b'=5+1 <<<<<