Question

O meu só chega em -2

Answer 1

A resposta é, de facto, $-2$:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{vmatrix} = -2.$

Podemos começar por utilizar algumas propriedades dos determinantes para simplificar. Nomeadamente, começamos por subtrair a última linha à primeira, pois essa operação não altera o valor do determinante. Obtemos assim:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{vmatrix}  \overset{L_1 \to L_1-L_4}{=}  \begin{vmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{vmatrix}.$

Podemos agora aplicar o teorema de Laplace à 1.ª linha. O único termo não nulo é o da 3.ª coluna, pelo que podemos simplesmente multiplicar esse elemento pelo determinante da matriz $3 \times 3$ que resulta de ignorar a linha e a coluna onde esse termo se encontra. Mais concretamente, multiplicamos o termo dentro do círculo pela matriz que resulta de ignorar os termos a negrito:

$\begin{vmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} & \textbf{\textcircled{2}} & \mathbf{0} \\ 1 & 3 & \mathbf{3} & 2 \\ 2 & 5 & \mathbf{3} & 3 \\ 1 & 1 & \mathbf{1} & 1\end{vmatrix} = 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix}.$

Podemos agora aplicar a estratégia inicial e subtrair a 1.ª e a 3.ª linhas à 2.ª:

$2 \times \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix} \overset{L_2 \to L_2 - L_1 - L_3}{=} 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix}.$

Tal como antes, aplicamos o teorema de Laplace à 2.ª linha, onde o único elemento não nulo é o da 2.ª coluna (assinalado com um círculo). Vamos então multiplicá-lo pelo determinante da matriz que resulta de ignorar os termos a negrito:

$2 \times \begin{vmatrix} 1 & \mathbf{3} & 2 \\ \mathbf{0} & \textbf{\textcircled{1}} & \mathbf{0} \\ 1 & \mathbf{1} & 1\end{vmatrix} = 2 \times 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 2  \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 2  \\ 1 & 1\end{vmatrix}.$

Esta matriz é $2 \times 2$, pelo que o determinante é simplesmente dado por:

$\begin{vmatrix} 1 & 2  \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 1 \times 1 - 2 \times 1 = 1 - 2 = -1.$

Assim, obtemos por fim:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{vmatrix} = 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 2  \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 2 \times (-1) = -2.$

Resposta: $\boxed{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{vmatrix} = -2}.$