Question

O método para se calcular a raiz quadrada aproximada de números inteiros é dado por (Raiz quadrada de N = a+b sobre 2 , sendo n = a ∙ b. Os valores para a e b com a melhor aproximação para a . n = 48 são, respectivamente,

A) a = 24 e b = 24.
B) a = 3 e b = 16.
C) a = 4 e b = 12.
D) a = 6 e b = 8.
E) Nenhuma das Alternativas

Answer 1

Temos a seguinte aproximação:

$\sqrt{n}=\sqrt{a\cdot b}\approx\dfrac{a+b}{2}$

Com a e b tendo mesmo sinal (para a raiz quadrada ser um número real). Sem perda de generalidade, assuma que a e b são números positivos
_________________________

Temos

$a\cdot n=48~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{n=\dfrac{48}{a}}}$

Mas

$n=a\cdot b=\dfrac{48}{a}~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{b=\dfrac{48}{a^{2}}}}$

Voltando para a expressão de aproximação e fazendo as substituições:

$\sqrt{n}=\dfrac{a+b}{2}\\\\\\\sqrt{\dfrac{48}{a}}=\dfrac{a+\frac{48}{a^{2}}}{2}\\\\\\\sqrt{\dfrac{48}{a}}=\dfrac{(\frac{a^{3}+48}{a^{2}})}{2}\\\\\\\sqrt{\dfrac{48}{a}}=\dfrac{a^{3}+48}{2a^{2}}$

Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado:

$\bigg[\sqrt{\dfrac{48}{a}}\bigg]^{2}=\bigg[\dfrac{a^{3}+48}{2a^{2}}\bigg]^{2}\\\\\\\dfrac{48}{a}=\dfrac{(a^{3}+48)^{2}}{4a^{4}}\\\\\\\dfrac{48}{1}=\dfrac{(a^{3}+48)^{2}}{4a^{3}}$

Multiplicando em cruz:

$(a^{3}+48)^{2}=48\cdot4a^{3}\\\\(a^{3})^{2}+2\cdot a^{3}\cdot48+48^{2}=192a^{3}\\\\(a^{3})^{2}+96a^{3}+2304-192a^{3}=0\\\\(a^{3})^{2}-96(a^{3})+2304=0$

Podemos interpretar essa igualdade como uma "equação do segundo grau" na variável $x=a^{3}$ (equação biquadrada). Resolvendo por Bhaskara, temos

$\Delta=(-96)^{2}-4\cdot1\cdot2304\\\Delta=9216-9216\\\Delta=0\\\\a^{3}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-96)\pm\sqrt{0}}{2\cdot1}=48$

Então:

$a=\sqrt[3]{48}=\sqrt[3]{8\cdot6}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{6}=2\sqrt[3]{6}$

Vemos, então, que a resposta é a letra E (não precisamos nem achar o valor de b)