Question

O Método dos Mínimos Quadrados trata-se de um método de otimização matemático, para encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados, de forma a minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados registrados.

Utilizando o critério dos Mínimos Quadrados, ajustar a uma reta os dados tabulados:

A)
y = 0,78345 + 1,23456x

B)
y = -0,78345 – 1,23456x

C)
y = -0,33328 + 0,714285x

D)
y = -0,02234 + 0,42234x

E)
y = 0,33328 - 0,714285x

Answer 1

Com o estudo sobre os mínimos quadrados temos como resposta a letra c)y = -0,33328 + 0,714285x

Método dos mínimos quadrados

Vamos começar resolvendo um exemplo para que assim o método fique mais claro. Exemplo: De acordo com a lei de Charles para um gás ideal em um volume constante, existe uma relação linear entre a pressão p e a temperatura T. No experimento, um volume fixo de gás em um recipiente lacrado é submergido em água gelada (T = 0°C). A temperatura do gás é então elevada em incrementos de dez até alcançar T = 100°C, o que é feito aquecendo-se a água, e a pressão do gás é medida em cada temperatura. Os dados obtidos no experimento são

$\begin{pmatrix}T( ^{\circ} C)&0&10&20&30&40&50&60&70&100\\ p\left(atm\right)&0,94&0,96&1,0&1,05&1,07&1,09&1,14&1,17&1,28\end{pmatrix}$

Vamos determinar uma função linear usando apenas os quatro pontos a seguir: 0, 30, 70 e 100°C

• $S_x=\sum _{i=1}^n\left(x_i\right)= > S_x=\sum \:_{i=1}^n\left(x_i\right)=0+30+70+100=200;$

• $S_y=\sum _{i=1}^n\left(y_i\right) = > S_y=\sum \:_{i=1}^n\left(y_i\right)=0,94+1,05+1,17+1,28=4,44;$

• $S_{xy}=\sum _{i=1}^n\left(x_iy_i\right) = > S_{xy}=\sum \:_{i=1}^n\left(x_iy_i\right)=0\cdot 0,94+30\cdot 1,05+70\cdot 1,17+100\cdot 1,28=241,4;$

• $S_{xx}=\sum _{i=1}^n\left(x^2_i\right) = > S_{xx}=\sum \:_{i=1}^n\left(x^2_i\right)=0^2+30^2+70^2+100^2=15800;$

• $\alpha _2=\frac{nS_{xy}-S_xS_y}{nS_{xx}-\left(S_x\right)^2}= > \alpha \:_2=\frac{nS_{xy}-S_xS_y}{nS_{xx}-\left(S_x\right)^2}=\frac{4\cdot 241,4-\left(200\cdot 4,44\right)}{4\cdot 15800-\left(200\right)^2}=0,003345;$

• $\alpha _1=\frac{S_y-S_x\alpha _2}{n}= > \alpha \:_1=\frac{S_y-S_x\alpha \:_2}{n}=\frac{4,44\cdot 15800-241\cdot 0,003345}{4}=0,9428$

Daí, $f(x)=0,00345x+0,9428$

Com base no exemplo podemos determinar a expressão pedida na questão que será $f\left(x\right)=-33328+714285x.$ Além disso também é possível determinar o domínio e a imagem.

• $\mathrm{Imagem\:de\:}-33328+714285x:\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:-\infty \: < f\left(x\right) < \infty \\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

• $\mathrm{Dominio\:de\:}\:-33328+714285x\::\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:-\infty \: < x < \infty \\ \:\mathrm{Notacao\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$
• Gráfico em anexo

Saiba mais sobre os mínimos quadrados: https://brainly.com.br/tarefa/18227614

#SPJ1