Question

O método de Newton é um método numérico conhecido por ter uma ótima velocidade de convergência. Utilizando o método de Newton com 3 iterações, calcule a aproximação para a raiz da função y = 5x³ + x² - 12x + 4, utilizando como aproximante inicial x = 0.

-1
0.3333333
0.36
0.3646073
0.5


Me ajudem por favor!

Answer 1

Resolução: calcule a derivada de f(x), faça n iterações, sendo a primeira com o x do enunciado, aplicando a fórmula do método de newton.

No método numérico de Newton, a cada iteração atualiza-se o valor de x da seguinte forma:

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, ~ n \in \mathbb{N}$

Logo, conforme a fórmula, é necessário inicialmente derivar a função. Para derivar f(x), basta aplicar a regra de derivação da potência*:

$f(x) = 5x^3 + x^2 - 12x+4 \\ \\\boxed{f'(x) = 15x^2 + 2x - 12}$

* Regra da derivada da potência:

$f(x) = ax^n ~~~~ \to f'(x) = na \cdot x^{n-1}$

Segundo enunciado, tem-se inicialmente x = 0, e deve-se aplicar o método 3 vezes (iterações). Portanto, a primeira iteração:

$f(x_0) = f(0) = 5 \cdot 0^3 + 0^2 - 12 \cdot 0 + 4 = 4 \\ \\f'(x_0) = f'(0) = 15 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 -12 = -12 \\ \\x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \\ \\x_1 = 0 + \frac{4}{12} \\ \\\boxed{x_1 = \frac{1}{3} = 0.333...}$

Demais iterações:

$f(x_1) = f(\frac{1}{3}) = 5 \cdot (\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - 12 \cdot (\frac{1}{3}) + 4 =\frac{8}{27}\\ \\f'(x_1) = f'(\frac{1}{3}) = 15 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 2 \cdot (\frac{1}{3})-12 =-\frac{29}{3}\\ \\x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \\ \\x_2 = \frac{1}{3} + \frac{8}{261} \\ \\\boxed{x_2 = \frac{95}{261} = 0.3640}$

$f(x_2) = f(\frac{95}{261}) = 5 \cdot (\frac{95}{261})^3 + (\frac{95}{261})^2 - 12 \cdot (\frac{95}{261}) + 4 = 0,0058 \\ \\f'(x_2) = f'(\frac{95}{261}) = 15 \cdot (\frac{95}{261})^2 + 2 \cdot (\frac{95}{261})-12 =-9.2848\\ \\x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} \\ \\x_3=\frac{95}{261}+\frac{0,0058}{9.2848} \\ \\\boxed{\boxed{x_3 = 0,3646}}$

Portanto, uma boa aproximação para a raiz da função é x = 0,3646, com três iterações do Método de Newton-Raphson.

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