Question

O menor valor que y pode assumir na igualdade y =
cos(x) + cos(2x) é:​

Answer 1

Resposta:  − 9/8.

Explicação passo a passo:

Encontrar o valor mínimo da função

    $\mathsf{y=cos(x)+cos(2x)}$

Aplique uma das identidades trigonométricas para o cosseno do arco duplo:

    cos(2x) = 2 cos²(x) − 1

Substituindo na lei da função, temos

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=cos(x)+\big(2\,cos^2(x)-1\big)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=2\,cos^2(x)+cos(x)-1}$

Faça a seguinte mudança de variável:

    $\mathsf{cos(x)=t,\quad com -1\le t\le 1}$

e a lei da função fica

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad y=2t^2+t-1}$

que é uma função quadrática na variável t. Como o coeficiente do termo quadrático é a = 2, que é positivo, então y assume valor mínimo dado por

    $\mathsf{y_V=-\,\dfrac{\Delta}{4a}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad y_V=-\,\dfrac{b^2-4ac}{4a}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad y_V=-\,\dfrac{1^2-4\cdot 2\cdot (-1)}{4\cdot 2}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad y_V=-\,\dfrac{1+8}{8}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad y_V=-\,\dfrac{9}{8}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Answer 2

$\mathtt{y=cos(x)+cos(2x)}\\\mathtt{y=cos(x)+2{cos}^{2}(x)-1}\\\mathtt{y=2{cos}^{2}(x)+cos(x)-1}$

Está é uma função de 2º grau em cos(x).

Como a=2>0 a função admite valor mínimo e o mesmo ocorre no yv.

$\mathtt{\Delta=1+8=9}$

$\mathtt{y_{v}=-\dfrac{\Delta}{4a}}$

$\mathtt{y_{v}=-\dfrac{9}{4.2}}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathtt{y_{v}=-\dfrac{9}{8}}}}$