Question

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β , de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é.

Answer 1

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é de D) 5.

Sobre funções trigonométricas (resolvendo a questão)

Essa questão envolve a aplicação prática das funções trigonométricas. Vamos resolvê-la?

• Primeiro, devemos estar atentos ao texto da questão, que nos diz que "é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm".

• Perceba que, deduzindo a partir da figura da questão, quando t = 0 o pistão está em (-90º).

• O pistão deverá ter deslocamento no sentido anti-horário e para que a altura alcance o valor de 6, necessariamente o ângulo de inclinação deverá estar em  (30º ou 150º) + k.360º, uma vez que  h(t) = 4 + 4 sen ( X ) = 6

        sen (X) = 2/4

        sen (X) = 1/2

• O pistão, pois, começa em  (-90º), girando no sentido anti-horário. Quando o pistão atingir 30º, vamos estar em h = 6, assim quando for atingido 30º vamos estar de novo (pela segunda vez) em h = 6. Ainda, o pistão voltará a atingir h=6, ou seja, pela terceira vez quando o ângulo for =  (30° + 360°) =  390º, sendo que esse ciclo deve levar menos que 4s para que tenhamos um motor reconhecido como de boa potência.

• A velocidade ao giro é dada por  β, sendo que quanto maior for  β, então, mais voltas teremos por s. Assim, devemos chegar ao tempo necessário para um volta, cumprindo os critérios colocados. Vamos lá: Δθ = θ final - θ inicial => Δθ = 390º - (-90º) => Δθ = 390º +90º => Δθ = 480º.

• Seguimos com um regra de 3:

    480º   -   4 segundos

    360º   -   x segundos

    x = (360 . 4) / 480

     x = 3s

• Chegamos, a partir do percurso acima, ao dado segundo o qual o t para um giro completo  é de 3s. Seguimos para achar o valor de β.

• Temos, portanto, o seguinte: altura mínima do pistão em h(0), o que se repete em 3s. Assim h(3) = 0, desse modo, temos:

     h(3) = 4 + 4 sen ( β.3/2 - π/2)

     0 = 4 + 4 sen [ (3β - π)/2]

     -4 = 4 sen  [ (3β - π)/2]

      sen  [ (3β - π)/2]  =  -1

• O ângulo que possui seno -1 é 270º. Assim:

     sen  [ (3β - π) / 2]  =  sen (3π / 2)

     (3β - π) / 2  =  3π/2

     3β - π =  3π

     3β =  3π + π

     3β =  4π

     β =  4π/3

     β ≅  4,19

• Encontramos o valor de 4,19, no entanto a questão nos pede o menor valor inteiro, assim o menor valor inteiro é 5.

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Bons estudos!