Question

O menor valor de x que resolve a equação (log x)^2 - 4logx - 5 = 0 é

a) 1/100000

b) 1/10

c) 5

d) 1

Answer 1

Olá,

$( log(x) {)}^{2} - 4 log(x) - 5 = 0$

Fazemos:

$y = log(x)$

Então:

$y {}^{2} - 4y - 5 = 0$

Resolvemos por completar quadrados. Some 9 aos dois lados da equação:

${y}^{2} - 4y - 5 + 9 = 0 + 9$

${y}^{2} - 4y + 4 = 9$

$(y - 2 {)}^{2} = 9$

Assim:

$y - 2 = 3$

$y = 5$

Assim como:

$y - 2 = - 3$

$y = - 1$

Aplicando no logaritmo:

$log(x) = 5$

$log_{10}(x) = 5$

$< = > {10}^{5} = x$

$x = {10}^{5}$

.

$log_{10}(x) = - 1$

$< = > {10}^{ - 1} = x$

$x = {10}^{ - 1}$

Assim, já percebemos que o segundo valor de x é menor:

$x = {10}^{ - 1} = > x = \frac{1}{10}$

Resposta: b)

Answer 2

$\sf \left(\log _{10}\left(x\right)\right)^2-4\log _{10}\left(x\right)-5=0\\\\\\{Reescrever\:a\:equacao\:com\:}\to \sf \log _{10}\left(x\right)=u\\\\\\\left(u\right)^2-4u-5=0\\\\\\u=5,\:u=-1\\\\\\{Substitua}\:u=\log _{10}\left(x\right),\:{solucione\:para}\:x\\\\\\\to \boxed{\sf x=100000}\\\\\to \boxed{\sf x=\frac{1}{10}}$