Question

O menor número inteiro n, estritamente positivo, de modo que a expressão 1200×n seja um cubo perfeito é?

Answer 1

Perceba que um número ao cubo nada mais é do que o cubo dos números que o compõe. Por exemplo:

$6^{3} = 216 = (2^{3}.3^{3})$

Assim, se o número 1200 for decomposto em fatores primeiros, teremos:

$4200 = (2^{4}.3.5^{2})$

Mas, esse número não é um cubo perfeito. Para que se torne assim, ele deveria ter seus expoentes múltiplos de 3, conforme o exemplo inicial.

$X = (2^{6}.3^{3}.5^{3})$

É aí que entra o número N, ou seja, se ele for construído com os mesmos fatores primos, ajudará a chegar no quadrado perfeito que queremos.

$(2^{4}.3.5^{2}).(2^{?}.3^{?}.5^{?})=(2^{6}.3^{3}.5^{3})$

Lembre-se da multiplicação de números com expontes (mantém e base a soma os expoentes).

Daí você chega que N deverá ter a seguinte composição:

$(2^{2}.3^{2}.5)=(4.9.5)=180$

Se você multiplicar N por 1200, chegará em um número que é o cubo de 60.

Se não entendeu algum passo posta nas dúvidas que tento esclarecer.

Espero ter ajudado e bons estudos!