Question

O menor numero de subintervalos em que podemos dividir o intervalo [0,1,0,7] para calcular a integral I dada abaixo, usando a regra dos trapézios com um erro menor ou igual a 0,001, é:

$\int _{0,1}^{0,7}\:\left(e^{-3x}+7x\right)dx$

a

A- 18

B- 14

C- 16

D- 11

E- 6

Answer 1

Na verdade, esse erro na questão é apenas uma estimativa do erro e não o erro verdadeiro.

Pode ser calculado por:

$\|E_T\| \leq \dfrac{(b-a)^3}{12 \cdot n^2} \cdot \max_{x\in [a,b]} \bigg| f''(x) \bigg|$

Então primeiro calculamos a derivada segunda de f(x):

$f(x) = e^{-3 \cdot x} + 7 \cdot x$

$f'(x) - 3 \cdot e^{-3 \cdot x} + 7$

$f''(x) = 9 \cdot e^{-3 \cdot x}$

Agora precisamos descobrir o valor máximo dessa função no intervalo entre 0.1 e 0.7. Como é uma exponencial decrescente, é óbvio que o máximo será em x = 0.1:

$\max_{x\in [a,b]} \bigg|f''(x)\bigg| =  9 \cdot e^{-3 \cdot 0.1}$

$\max_{x\in [a,b]} \bigg|f''(x)\bigg| =  9 \cdot e^{-0.3}$

$\max_{x\in [a,b]} \bigg|f''(x)\bigg| \approx  9 \cdot 0.74082$

$\max_{x\in [a,b]} \bigg|f''(x)\bigg| \approx  6.6674$

Ok, agora substituindo os valores na equação do erro:

$0.001 \leq \dfrac{(b-a)^3}{12\cdot n^2} \cdot 6.6674$

Vamos resolver a inequação para tentar encontrar h:

$\dfrac{12 \cdot 0.001}{6.6674} \leq \dfrac{(0.7-0.1)^3}{n^2}$

$0.0018 \leq \dfrac{(0.6)^3}{n^2}$

$0.0018 \leq \dfrac{0.216}{n^2}$

$n^2 \leq \dfrac{0.216}{0.0018}$

$n^2 \leq 120$

$n \geq \sqrt{120}$

$n \geq 10.95445$

Arredondando para cima, n = 11 seria a resposta, alternativa D

Agora, se você utilizasse um programa em Python para calcular esse valor:

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import numpy as np

a,b = 0.1,0.7 # Define os intervalos de integração

n = 1 # Inicia o número de subintervalos com 1

E = np.inf # Inicia o erro como infinito

I_r = 1.88612059747624531862 # Valor esperado da integral

e_lim = 1e-3 # Define o erro a ser atingido

while E > e_lim: # Enquanto E maior que o erro esperado

   S = 0 # Inicializa a variavel soma com 0

   for i in range(n): # Calcula a integral para o n dado

       a_i = a+ i*(b-a)/n

       b_i = a + (i+1)*(b-a)/n

       f_a = np.exp(-3*a_i)+7*a_i

       f_b = np.exp(-3*b_i)+7*b_i

       S = S + (b_i-a_i)*(f_a+f_b)/2

 

   E = np.abs(S - I_r) # Calcula o erro

   print("N = ",n, ", I = ", S, ", Erro = ", E) # Imprime o erro na tela

   n += 1 # Incrementa 1 ao nûmero de subintervalos

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Contudo, o resultado encontrado é:

N =  1 , I =  1.93898239468041 , Erro =  0.05286179720416451

N =  2 , I =  1.8998494609138654 , Erro =  0.013728863437620031

N =  3 , I =  1.8922674288712757 , Erro =  0.006146831395030361

N =  4 , I =  1.889587199661198 , Erro =  0.0034666021849525386

N =  5 , I =  1.8883419063370654 , Erro =  0.0022213088608200593

N =  6 , I =  1.8876641880584193 , Erro =  0.0015435905821739038

N =  7 , I =  1.8872551143399563 , Erro =  0.0011345168637109104

N =  8 , I =  1.886989435929342 , Erro =  0.0008688384530965987

Ou seja, de acordo com o programa, o número mínimo de subintervalos para atingir a condição seria N = 8.

Só que essa alternativa não está nas opções. A próxima nas opções seria N = 11.

Confirmando a alternativa D