Question

O maior valor real de K para que a distância entre os pontos A =(K 1) e B = (2, K) seja igual a 5 é his a
a) -1
b) o
c) 2
d) 3
e) 4​

Answer 1

Resposta:

k = 5    ou  k = - 2

( ver gráfico em anexo, que valida estas soluções )

Explicação passo a passo:

Observação 1  →  Distância entre dois pontos

Fórmula da distância de dois pontos A ( xa ; ya )  e B ( xb ; yb )

$dAB=\sqrt{(xb-xa)^2+(yb-ya)^2}$

Neste caso sabe-se a distância e procura-se um valor de uma

coordenada.

$5=\sqrt{(2-k)^2+(k-1)^2}$

Dentro da raiz quadrada existem dois produtos notáveis.

Ambos são a " Quadrado de uma diferença "

Observação 1 → Desenvolvimento do Quadrado de uma diferença

Quadrado do primeiro termo

menos

o dobro do produto do 1º pelo 2º termo

mais

Quadrado do segundo termo

Cálculos auxiliares

( 2 - k )² = 2² - 2 * 2 * k + k² = 4 - 4k +k²

( k - 1 )² = k² - 2 * k * 1 + 1² = k² - 2k + 1

Somando os dois desenvolvimentos

4 - 4k +k² + (  k² - 2k + 1 )

= 2k² - 6k + 5

Fim cálculos auxiliares

$5 =\sqrt{ 2k^2 - 6k + 5}$

Equação Irracional

Elevar ambos os membros ao quadrado ( que é o índice do radical )

$5^2 =(\sqrt{ 2k^2 - 6k + 5})^2$

$25= 2k^2 - 6k + 5$

Equação do 2º grau

Resolver com a Fórmula de Bhaskara

x = ( - b ±√Δ ) /2a       Δ = b² - 4 * a * c           a  ≠ 0

2k² - 6k + 5 - 25 = 0

2k² - 6k - 20 = 0

a =   2

b = - 6

c = - 20

Δ = ( - 6 )² - 4 * 2 * ( - 20 ) = 36 +160 = 196

√Δ = √196 = 14

k1 = ( - ( - 6 ) + 14 ) / ( 2 * 2 )

k1 = ( + 6 + 14 ) / 4

k1 = 20/4

k1 = 5

k2 = ( - ( - 6 ) - 14 ) / ( 2 * 2 )

k2 = ( + 6 - 14 ) / 4

k2 = - 8 / 4

k2 = - 2

Verificação

Para k = 5

$5 =\sqrt{ 2k^2 - 6k + 5}$

$5 =\sqrt{ 2*5^2 - 6*5 + 5}$

$5 =\sqrt{ 50 - 30 + 5}$

$5 =\sqrt{ 20 + 5}$

$5 =\sqrt{ 25}$

5 = 5      verdadeiro

Para k = - 2

$5 =\sqrt{ 2*(-2)^2 - 6*(-2) + 5}$

$5 =\sqrt{ 8 - (-12) + 5}$

$5 =\sqrt{ 8 +12 + 5}$

$5 =\sqrt{ 25}$

5 = 5      verdadeiro

K = 5    ou   K = - 2

Bons estudos.

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( * ) multiplicação       ( / ) divisão      ( ≠ )   diferente de

( tive que usar outros nomes  C e D para que o aplicativo do gráfico

fizesse ambos os cálculos )

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.