Question

O maior valor de K para que o ponto P(8, K² – 3K – 10) pertença ao eixo x é: *
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Answer 1

De acordo com os cálculos feitos, podemos observar que para o ponto pertencer ao eixo x, o maior valor que k pode assumir para que isso seja cumprido é $\large\underline{k = 5}$

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Explicação

Primeiro vamos fazer uma breve contextualização sobre as coordenadas de pontos que pertencem aos eixos coordenados no R², isto é, estão localizados nos eixos (x, y).

• O eixo x é conhecido por ser um reta perpendicular ao eixo y, possuindo uma equação dada por $y = 0$, ou seja, todo ponto que se encontra sobre este eixo, tem a sua ordenada (y) zerada. $P(x,0),\:\forall \:P\; \in\: eixo_x.$

• O eixo y mantém a mesma lógica, só que ao invés de ser uma reta em y, é em x e dada por $x = 0$. Com isso podemos ver que qualquer ponto sobre este eixo tem sua abscissa (x) zerada. $P(0,y), \:\forall \:P \:\in \:eixo_y.$

De acordo com esta ideia dos eixos, podemos garantir que ponto $P(8,k^2-3k-10)$ só irá pertencer ao eixo x, se a sua ordenada y for igual a 0. Portanto:

$P(8, \: \underbrace{k^2-3k-10}_{y = 0} ) \: \: \to \: k {}^{2} - 3k -10= 0$

Note que surgiu uma equação do segundo grau e que para achar o valor de k, devemos resolvê-la.

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:k {}^{2} - 3k-10 = 0 \\ \\ k=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^{2}-4.(1).(-10)}}{2.1}\\\\k=\frac{3\pm\sqrt{9+40}}{2}\:\:\to\:\:k=\frac{3\pm\sqrt{49}}{2}\\\\ k = \frac{3\pm7}{2}\to\begin{cases}x_1=5\\x_2=-2\end{cases}$

Como se trata do maior valor, vamos considerar apenas k = 5, uma vez que 5 é maior que -2. Portanto ficamos com a alternativa c).

Espero ter ajudado.

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Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o maior valor que satisfaz numericamente o parâmetro "k" de modo que o ponto "P" pertença ao eixo das abscissas é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf M_{v} = 5\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja o ponto:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} P(8, k^{2} - 3k - 10)\end{gathered}$

Para que o ponto "P" pertença ao eixo "x" - eixo das abscissas - é necessário que a ordenada do referido ponto seja igual a "0".

Se, todo ponto com coordenadas cartesianas, no plano cartesiano pode ser montado da forma:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} P(x_{p}, y_{p})\end{gathered}$

Onde:

             $\Large\begin{cases}x_{p} = Abscissa\\y_{p} = Ordenada \end{cases}$

Então, temos:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{p} = 0\end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} k^{2} - 3k - 10 = 0\end{gathered}$

Chegamos à seguinte equação do segundo grau - equação quadrática - cujos coeficientes são:

                   $\Large\begin{cases} a = 1\\b = -3\\c = -10\end{cases}$

Calculando o valor do discriminante, temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \Delta = b^{2} - 4ac\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (-3)^{2} - 4\cdot1\cdot(-10)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 9 + 40\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 49\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\Delta = 49\end{gathered}$

Calculando as raízes, temos:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-(-3)\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{3 \pm7}{2}\end{gathered}$

Obtendo as raízes:

        $\LARGE\begin{cases} x' = \frac{3 - 7}{2} = -\frac{4}{2} = - 2\\x'' = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\end{cases}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação do segundo grau é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-2, \:5\}\end{gathered}$

✅ Como queremos o maior valor "Mv", então devemos considerar apenas a maior raiz, ou seja:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}M_{v} = 5 \end{gathered}$

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