Question

O maior valor de k para o qual a desigualdade
log2x + logx 2 ≥ k se verifica para todo número real x
maior do que um é
A) 2,0.
B) 1,5.
C) 2,5.
D) 3,0.

Answer 1

O maior valor de k deve ser 2, alternativa A!

1) Para resolver o problema proposto, devemos isolar as variaveis em função de k para determinar o valor minimo. Outro ponto importante e que o logaritmo têm a propriedade que nos diz  loga b = logc b/logc a.

log (2x) + log (x) * 2 ≥ k

2  ≥ k - log(2x) / log(x)

2  ≥ k - 1 / k Multiplicando por k os dois lados

k^2 + 1 = 2k

k^2 - 2k + 1 = 0

(k-1)^2 = 0

k = 1

2) Por fim, como k = 1, log 2 = log x. Mas como a função logaritmíca é injetiva, 2 = x. Assim, teremos:

x está entre 3/2 e 5/2, ou seja, 2!