Question

O Luis e a Cristina vão a um concerto com mais seis amigos e ocupam uma fila de 8lugares. De quantas maneiras podem sentar se sabendo que o Luis e a Cristina não ficam juntos?

A resposta é 30 240 mas não sei como chego lá :(

Answer 1

Oi Sara, como vai?

Existem 8 amigos para ocupar uma fileira de 8 lugares. Então, primeiro, vamos calcular o número total de maneiras diferentes desses amigos se acomodarem sem levar em conta o fato de Luis e Cristina não ficarem juntos. Isto é, calcular o arranjo de 8 amigos tomado 8 a 8:
$A_{n,p}= \frac{n!}{(n-p)!} \\ \\ A_{8,8}= \frac{8!}{0!}=8!= 40320$

Portanto, existem 40320 maneiras dessas pessoas sentarem. Entretanto, foi dito que dois desses amigos, Luis e Cristina não podem sentar juntos (um ao lado do outro). Desse modo, vamos calcular quantas formações das 40.320 envolvem de fato Luis e Cristina lado a lado. Para isso, vamos imaginar a fileira de cadeiras:
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As maneiras existentes de Luis (L) e Cristina (C) ficarem lado a lado são:
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 L    C
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       L    C
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             L    C
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                   L    C
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                         L    C
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                               L    C
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                                     L    C

Nessas 7 disposições eles estarão lado a lado. Porém, lembre-se que Luis ao lado de Cristina (L C) é diferente de Cristina ao lado de Luis (C L). Logo, existem 14 disposições que eles ficarão lado a lado. Nessas 14 disposições, as outras 6 cadeiras podem ser ocupadas de 6! maneiras diferentes, pois restam 6 amigos para 6 cadeiras:
$A_{6,6}= \frac{6!}{0!}=6!=720$

Portanto, do total de formações possíveis, os 2 amigos aparecem juntos em exatamente 720*14 delas, ou seja, em 10.080 formações.

Como já sabemos que o total de formações é de 40.320, para encontrar as maneiras que eles podem sentar respeitando as diferenças de Luis e Cristina basta subtrair 10.080 de 40.320:
$40.320-10.080=30.240$

Por fim, existem 30.240 maneiras de se sentarem nessas condições.

Bons estudos!