Question

O lucro total em dólares, da Acrosonic pela fabricação e venda de x unidades de seu alto-falante modelo F é dado por L(x)=-0,02x^2+300x-20000. Dessa forma, utilizando derivada, qual o número de unidades do sistema de alto-falantes que a Acrosonic deve produzir e vender para maximizar o lucro?

Answer 1

O número de unidades do sistema de alto-falantes que a Acrosonic deve produzir e vender para maximizar o lucro é igual a 7500 unidades.

Vamos a lembrar que a função do Lucro é dada pela diferença das funçoes da Receita e o Custo.

Então neste caso, para achar o número de unidades (x)  a produzir e vender, que maximiza o lucro da organização temos que derivar a função do Lucro dada, e logo vamos a obter uma nova função que devemos igualar a zero (0) para isolar x:

$L_{(x)} = -0,02x^2\;+\;300x\;-\;20.000\\\\L_{(x)}' = \frac{d}{dx}[-0,02x^2] + \frac{d}{dx} [300x] + \frac{d}{dx} [-20.000]$

Aplicamos a Regra da Potência que estabelece que:

$\frac{d}{dx}[x^{n}] = nx^{n-1}$

$L_{(x)}' = -0,02*(2x) + 300 + 0\\\\L_{(x)}' = -0,04x + 300$

Agora igualamos a função a zero e isolamos X:

$-0,04x + 300 = 0\\\\x = \frac{-300}{-0,04}\\\\ x = 7.500\;unidades$