Question

O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q)=-4q2+1.000q-12.000 reais, para q variando entre 0 e 80 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido é:

Answer 1

O lucro máximo que pode ser obtido é R$ 42.400,00.

• Observe que L(q) = −4q² + 1.000q − 12.000 é uma função do segundo grau cujo coeficiente de q² é negativo e portanto é representada por uma parábola de concavidade para baixo.

• O valor máximo de uma parábola de concavidade para baixo é obtido em seu vértice, portanto para determiná-lo obtemos a ordenada do vértice (Lᵥ) (Veja figura anexa).

• Observe no enunciado que a função fornece o valor do lucro máximo para a quantidade de unidades (q) limitada à faixa entre 0 e 80 unidades, então determine inicialmente a abscissa do vértice (qᵥ) para verificar se está entre a faixa especificada.

• Os coeficientes da função L(q) são:

a = −4

b = 1.000

c = −12.000

• A abscissa do vértice é obtida por:

$\large \sf q_v = -\dfrac{b}{2a}$

$\large \sf q_v = -\dfrac{1000}{2(-4)} = \dfrac {1000}{8}$

qᵥ = 125

• Observe que a abscissa do vértice é maior do que 80 portanto está fora da faixa em que a função é válida. Portanto o lucro máximo ocorrerá no ponto em que qᵥ = 80. Substitua esse valor na função e determine o lucro máximo.

L(q) = −4q² + 1.000q − 12.000

L(80) = −4 ⋅ 80² + 1.000 ⋅ 80 − 12.000

L(80) = −4 ⋅ 6400 + 80.000 − 12.000

L(80) = −25.600 + 80.000 − 12.000

L(80) = 42.400

• O lucro máximo que pode ser obtido é R$ 42.400,00.

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Answer 2

R$ 50.500,00

Explicação passo a passo:

Como o lucro é expresso por uma função quadrática com a < 0, ou seja, seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, seu valor máximo é a coordenada y do vértice (Yv).