Question

O lucro mensal de uma fábrica é dado por L(x) = - x² + 60x + 10, onde x é quantidade mensal de unidades fabricadas e vendidas de certo bem produzido por esta empresa e L é expresso em reais. Qual é o maior lucro mensal possível que a empresa poderá ter?

Answer 1

Resposta: 910 R$

Explicação passo-a-passo:

Dada a função de segundo grau $y=-x^2+60x+10$, que projetará a imagem de uma parábola no plano cartesiano, observamos que seu a é -1, menor que zero, o que nos diz que esta função projeta uma parábola com concavidade para baixo e que por consequência possui um ponto de máximo. Ele quer saber o maior lucro mensal possível, ou seja, quer saber qual será o maior valor de y (também podemos chamá-lo de L(x)). Esse cálculo será feito através da fórmula do y do vértice de uma parábola, que dita:

$y_v=-\frac{\Delta}{4a}$

E sabendo que a = -1, b = 60 e c = 10, podemos calcular o delta e inserí-lo na função junto com o a:

$\Delta=60^2-4.(-1).10\\\Delta=3600+40\\\Delta=3640$

E então,

$y_v=-\frac{3640}{4.(-1)}=-\frac{3640}{-4}=910$