Question

O lucro mensal de uma empresa é dado por L(x) = -x² + 20x – 5, sendo x a quantidade mensal vendida. Qual o lucro mensal máximo possível?

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre funções quadráticas.

Seja uma função quadrática de coeficientes reais $f(x)=ax^2+bx+c,~a\neq0$.

A partir do estudo de sinal desta função, sabemos que:

• Se $a<0$, a função admite máximo global em seu vértice.
• Se $a>0$, a função admite mínimo global em seu vértice.

Neste caso, podemos ver que $a<0$, logo a função $L(x)$ admite máximo global em seu vértice.

As coordenadas deste vértice são $(x_v,~y_v)$, os quais nos dizem a quantidade necessária $(x_v)$ para atingir o lucro máximo $(y_v)$.

Para calcular estas coordenadas, utilizamos as fórmulas: $x_v=-\dfrac{b}{2a}$ e $y_v=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$.

Visto que buscamos o lucro máximo possível modelado por esta função, devemos determinar o valor de $y_v$.

Substituindo os coeficientes $a=-1,~b=20$ e $c=-5$ na fórmula, teremos:

$y_v=-\dfrac{20^2-4\cdot(-1)\cdot(-5)}{4\cdot(-1)}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$y_v=-\dfrac{400-20}{-4}\\\\\\ y_v=\dfrac{380}{4}\\\\\\ y_v=95$

Este é o lucro máximo possivel obtido por esta empresa.

Answer 2

Oie, tudo bom?

Resposta: o lucro mensal máximo possível é R$95,00.

L(x) = - x² + 20x - 5

a = - 1, b = 10, c = - 5

Dado a < 0, a função tem o seu valor máximo em x, calculado por substituir a e b em Xv = - b/2a.

Xv = - b/2a

Xv = - 20/(2 . (- 1))

Xv = 20/(2 . 1)

Xv = 20/2

Xv = 10

O máximo da função quadrática é em x = 10.

L(x) = - x² + 20x - 5 Para x = 10

L(10) = - 10² + 20 . 10 - 5

L(10) = - 100 + 200 - 5

L(10) = - 105 + 200

L(10) = 95

O valor máximo da função quadrática é 95 em x = 10.

Att. NLE Top Shotta