Question

“O lucro L obtido pela empresa na venda de um adubo específico é em
função do preço x cobrado. Se x for um número muito pequeno, o lucro é
negativo, ou seja, a empresa terá prejuízo. Se x for um número muito
grande, o lucro também será negativo, pois poucas pessoas adquirirão o
adubo dessa empresa. A matriz da empresa, estudando a situação, deduziu a
fórmula para L em função de x: L = -x² + 90x – 1400. (L e x em unidades
monetárias convenientes)”.
1). Discutir e demonstrar por meio de cálculos se haverá lucro se o preço for x = 20 e se o preço for x = 70.
2). Explicar o que acontecerá quando x = 100. Esboçar o gráfico dessa função.
3) Definir quanto à empresa deverá cobrar (moeda vigente) para ter lucro máximo? Qual é esse lucro máximo?

Answer 1

a)
Calculando L(20)
$\boxed{L(20)=-20^2+90.20-1400=-400+1800-1400=0}$
Logo não haverá lucro, embora não haja prejuízo

Calculando L(70)
$\boxed{L(70)=-70^2+90.70-1400=-4900+6300-1400=0}$
Logo não haverá lucro, embora não haja prejuízo

2. 
Calculando L(100)
$\boxed{L(100)=-100^2+90.100-1400=-10000+9000-1400=-2400}$
Logo haverá prejuízo de $2400

3)
Para ter lucro máximo devemos determinar o valor máximo da função
Vamos derivar a função:
$L(x)=-x^2 + 90x - 1400 \\ \\ L'(x)=-2x+90 \\ \\ L'(x)=0 \\ \\ -2x+90=0 \\ \\ -2x=-90 \\ \\ \boxed{x=45}$

A empresa obterá lucro máximo se comercializar ao preço de $45

Este lucro será:

L(45)=
$\boxed{L(45)=-45^2+90.45-1400=-2025+4050-1400= \ 625}$