Question

O lucro L de uma empresa, em milhares de reais, é expresso pela função de segundo
grau L = −x^2 + 10x + 40 em que x representa a quantidade fabricada e vendida de determinado produto:
a. O valor do lucro máximo obtido pela empresa.
b. A quantidade de produtos que devem ser fabricados e vendidos para se obter o lucro máximo.

Answer 1

Olá,

A função é:
L(x) = -x² + 10x + 40

a) O lucro máximo será o valor máximo que a função admite, ou seja, a ordenada do vértice.
y = -Δ/4a
y = -(10²-4*(-1)*40)/4*(-1)
y = -(100 + 160)/-4
y = -260/-4
y = 65

O lucro máximo é de R$ 65.000,00

b) A quantidade x de produtos pra o lucro máximo, ou seja, a quantidade de produtos que devem ser vendidos para se arrecadar de lucro R$ 65.000,00. Lembre-se que trata-se de unidade de milhar. Assim, temos:
L = -x² + 10x + 40
65 = -x² + 10x + 40
x² - 10x - 40 + 65 = 0
x² - 10x + 25 = 0
Δ = (-10)² - 4*1*25
Δ = 100 - 100
Δ = 0

x₁ = x₂ = (-b+√Δ)/2a
x₁ = x₂ = (10 +√0)/2
x₁ = x₂ = 10/2
x₁ = x₂ = 5

Devem ser fabricados 5 produtos.

Bons estudos ;)