Question

O lucro L de uma empresa é dado por L = -x² + 7x – 6, em que x é quantidade vendida.

Para quais valores de x o lucro será positivo?.

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o conjunto solução da questão é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{x\in\mathbb{R}\:|\:1 < x < 6\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função do segundo grau que representa o lucro:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} L(x) = -x^{2} + 7x - 6\end{gathered}$

Que gera a seguinte equação do segundo grau:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x^{2} + 7x - 6 = 0\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                  $\Large\begin{cases} a = -1\\b = 7\\c = -6\end{cases}$

Resolvendo a equação do segundo grau, poderemos obter as raízes. Desta forma, temos:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\end{gathered} }$

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-7\pm\sqrt{7^{2} - 4\cdot(-1)\cdot(-6)}}{2\cdot(-1)}\end{gathered} }$

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{7\pm\sqrt{49 - 24}}{-2}\end{gathered} }$

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-7\pm\sqrt{25}}{-2}\end{gathered} }$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{-7\pm5}{-2}\end{gathered}$

Obtendo as raízes, temos:

  $\LARGE\begin{cases} x' = \frac{-7 + 5 }{-2} = \frac{-2}{-2} = 1\\x'' = \frac{-7 - 5}{-2} = \frac{-12}{-2} = 6\end{cases}$

Portanto, as raízes são:

                   $\Large\begin{cases} x' = 1\\x'' = 6\end{cases}$

OBSERVAÇÃO: Quando o número de vendas "x" for IGUAL à cada uma das raízes, o respectivo lucro será NULO.

✅ Como estamos interessado apenas nos valores de "x", para os quais teremos lucros positivos, então o conjunto solução da questão será:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S = \{x\in\mathbb{R}\:|\:1 < x < 6\}\end{gathered} }$

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Veja a solução gráfica representada na figura: