Question

o lucro ( em milhões de rais ) que uma fábrica obtém com a venda de um produto é dado pela função L (x)= -x²/2+3x+6, em que x é o valor gasto ( também em milhões de rais) com propaganda na televisão.
A) Calcule o valor que a empresa deve gastar com propaganda para obter o lucro máximo.Determine o lucro nesse caso.
B)Determine quanto a empresa deve gastar com propaganda para que seu lucro seja maior ou igual a 10 milhões de reais.

Answer 1

Função: 

$\fbox{ \mathsf{L(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x+6} }$

Nós podemos derivar essa função e igualar sua derivada a zero, para obter seu extremante (abcissa no qual L(x) é máximo).

$\mathsf{\dfrac{d}{dx}(-\frac{1}{2}x^2+3x+6)}$

Note que estamos derivando um polinômio, e a derivada de um polinômio é igual a derivada de seus termos. Note também que 6 é um termo constante, e a derivada de qualquer termo constante é zero. 

Regra do "tombo": 

$\fbox{ \mathsf{ax^{n}=nax^{n-1}} }$

Usando dessas regras, vamos derivar a função:

*Obs: (d/dx é uma notação para indicar que estamos diferenciando)

$\mathsf{\dfrac{d}{dx}(-\frac{1}{2}x^2+3x^{1}+6)}\\\\\\\mathsf{2\cdot(-\frac{1}{2})x^{2-1}+1\cdot3x^{1-1}+0}\\\\\mathsf{-\frac{2}{2}x^1+3x^{0}}\\\\\mathsf{-x+3}$

Igualando a zero para encontrar o extremante:

$\mathsf{-x+3=0}\\\\\mathsf{-x=-3}\\\\\mathsf{x=3}$

Sendo assim, quando a empresa gasta 3 milhões de reais em propaganda, o lucro, L(x), é o máximo possível. 

Para determinarmos o lucro máximo basta substituir x = 3 na função.

$\mathsf{L(3)=-\frac{1}{2}\cdot3^2+3\cdot3+6}\\\\\mathsf{L(3)=-\frac{1}{2}\cdot9+9+6}\\\\\mathsf{L(3)=-\frac{9}{2}+15}\\\\\mathsf{L(3)=-\frac{9}{2}+\frac{30}{2}}\\\\\mathsf{L(3)=\frac{21}{2}=10.5~milh\~oes}$

Para a segunda questão temos uma inequação:

$\mathsf{-\frac{1}{2}x^2+3x+6 \geq 10}\\\\\mathsf{-x^2+6x+12 \geq 20}\\\\\mathsf{-x^2+6x-8 \geq 0}\\\\\mathsf{-(x-4)(x-2) \geq 0}$

Analisando cada fator:

$\mathsf{-(x-4) \geq 0}\\\\\mathsf{-x+4 \geq 0}\\\\\mathsf{x-4 \leq 0}\\\\\fbox{ \mathsf{x \leq 4} }~~\mathsf{solu\c{c}\~ao~1}$

$\mathsf{x-2 \geq 0}\\\\\fbox{ \mathsf{x \geq 2} }~~\mathsf{solu\c{c}\~ao~2}$

Reunindo as soluções: Solução 1 ∪ Solução 2

 $\fbox{ \mathsf{Conjunto~solu\c{c}\~ao:~\begin{Bmatrix}x\in\mathbb{R}~|~2 \leq x \leq 4\end{Bmatrix}} }$

Ou seja, para valores maiores ou iguais a 2 e menores ou iguais a 4, L(x) é maior ou igual a 10. 

Isso quer dizer que se a empresa gastar um valor igual a 2 milhões, 4 milhões, ou entre esses dois valores, com propagandas, seu lucro será maior ou igual a 10 milhões.