Question

O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo de produção C. Suponha que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x) = x + 2 x2 e C(x) = 3 x2 – 15 x + 60, sendo x o número de itens produzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 10 itens por dia. Considerando essas informações, responda as questões a seguir.



1) Qual é o número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo.



2) Determine o intervalo que a função L(x) é crescente.



3) Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir quantos itens por dia.



4) Se a fábrica produzir 15 itens num único dia, terá prejuízo ou lucro.



5) O lucro de uma outra Empresa é calculado pela fórmula l(x) = (- x + 2) (x - 8) em que x é a quantidade vendida. Determine o intervalo que a Empresa terá lucro.


(preciso dos cálculos, não só das respostas)​

Answer 1

Sabemos que o lucro pode ser calculado subtraindo do custo a receita. Logo temos que

L(x) = x + 2x² - (3x² - 15x + 60)

L(x) = -x² + 16c - 60

1) Sabendo que L(x) = - x² + 16c - 60, queremos saber para quais valores de x ele será maior do que zero.

- x² + 16c - 60 > 0

Fazendo a fórmula de Bhaskara temos que:

Δ = 16² - 4(-1)(-60)

Δ = 16

√Δ = 4

$x_1 =\dfrac{-16+4}{2(-1)} = \dfrac{-12}{-2} = 6 \\\\x_2 =\dfrac{-16-4}{2(-1)} = \dfrac{-20}{-2} = 5$

Sabemos então que entre 5 e 6, o lucro é positivo, fazendo o estudo de sinal do gráfico da função, esta é a parte que fica acima do eixo. x. Então o numero mínimo de peças que ele deve produzir é 5.

2) A função é crescente do momento em que o lucro e zero até o lucro máximo, para descobrir qual é a outra extremidade do intervalo temos que calcular o vértice.

$y_v = \dfrac{-\Delta}{4a} = \dfrac{-16}{2(-1)} = 8$

O intervalo de crescimento de L(x) é [0,8].

3) Precisamos encontrar o x do vértice.

$x_v = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-16}{2(-1)} = 8$

Ela precisa produzir 8 itens por dia.

4) Como 15 é maior que 8, após o vértice a função começa a decrescer, logo ela terá prejuízo se produzir 15 itens por dia.

5)  L(x) = (- x + 2).(x - 8), como a equação já está na forma fatorada, basta igualar cada um dos fatores a zero para descobrir as raízes.

-x + 2 = 0

z = 2

x - 8 = 0

x = 8

O intervalo de lucro é [2,8].

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