Question

O lucro de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função L(x) = - 5x² + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine:

a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos.

b) Quantos produtos precisam ser vendidos para a obtenção do lucro máximo.

Answer 1

O lucro máximo é de R$420,00 e a quantidade de produtos que precisam ser vendidos para a obtenção do lucro máximo é igual a 10.

Observe que a função que determina o lucro é uma função quadrática (do segundo grau).

Como queremos determinar o lucro máximo e a quantidade de produtos para se obter o lucro máximo, então temos que determinar o vértice da parábola.

O vértice de uma parábola é definido por:

$V=(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$.

Sendo L(x) = -5x² + 100x - 80, temos que:

a = -5, b = 100 e c = -80.

a) Como queremos o lucro máximo, então temos que calcular o y do vértice:

$y_v=-\frac{\Delta}{4a}$

Então,

$y_v = -\frac{100^2 - 4.(-5).(-80)}{4.(-5)}$

$y_v = \frac{10000 - 1600}{20}$

$y_v=\frac{8400}{20}$

yv = 420.

b) Para saber a quantidade de produtos que precisam ser vendidos para obter o lucro máximo, basta calcular o x do vértice:

$x_v=-\frac{b}{2a}$

$x_v=-\frac{100}{2.(-5)}$

$x_v=\frac{100}{10}$

xv = 10.

Answer 2

A) ∆ = 100² - 4 • (-5) • (-80)

∆ = 10000 - 1600

∆ = 8400

Xv = -8400 / 4 • (-5)

Xv = 8400 / 20

Xv = 420

R: O lucro máximo é de R$420,00

B) Yv = -100 / 2 • (-5)

Yv = -100 / -10

Yv = 10

R: É nescessário vender de 10 produtos para obter o lucro máximo