Question

O lucro de uma empresa pode ser expresso por meio de um polinômio do 2o grau, ax2 + bx + c, com a ≠0, em que xcorresponde à quantidade de peças vendidas. Se a empresa apresenta lucro nulo, então a soma e o produto das raízes do polinômio correspondem a, respectivamente, 10 e 16. Com base nessas informações, calcule a quantidade de peças que determina o lucro nulo

Answer 1

Resposta:

Veja, Gioxnat, que a resolução é simples.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para fatorar o seguinte polinômio:

p(x) = x² + 5x ---- veja: para fatorar essa função deveremos igualá-la a zero. Logo, ficaremos assim:

x² + 5x = 0 ---- vamos colocar "x" em evidência, pois ele é comum aos dois fatores. Então, fazendo isso, teremos:

x*(x + 5) = 0 ---- Note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades (e note que aqui já temos a forma fatorada do polinômio da sua questão. Mas vamos fazer com a utilização das raízes pra você ficar sabendo como se faz se o polinômio tivesse uma escrita diferente):

ou

x = 0 ----> x' = 0

ou

x+5 = 0 ---> x'' = - 5.

ii) Assim, como você viu, as raízes do polinômio p(x) são x' = 0 e x'' = -5.

Então vamos efetuar a fatoração desse polinômio em função de suas raízes. Lembre-se que um polinômio da forma p(x) = ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e x'', poderá ser fatorado, em função de suas raízes, da seguinte forma:

ax² + bx + c = a*(x-x')*(x-x''). (I).

iii) Assim, tendo por base a relação que vimos na expressão (I) acima, então o polinômio p(x) = x² + 5x, cujas raízes são x' = 0 e x'' = -5, poderá ser fatorado da seguinte forma:

x² + 5x = 1*(x-0)*(x-(-5)) --- ou, o que é a mesma coisa:

x² + 5x = (x-0)*(x+5) --- ou apenas:

x² + 5x = x*(x+5) <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a forma fatorada do polinômio da sua questão [p(x) = x²+5x].

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja o que afirmamos antes, quando dissemos que a forma fatorada já seria aquela que encontramos quando igualamos o polinômio a "0", e que foi esta: x*(x+5). E que só fizemos pela utilização de suas raízes (x' = 0 e x'' = -5) para mostrar a você como seria a fatoração de um polinômio do 2º grau em função de suas raízes, ok?

É isso aí.

Deu pra entender bem?