Question

O lucro de uma empresa imobiliária em certo período de tempo é dado em milhões de reais por y = 5 ( x - 4) (8 - x) onde X representa o número de lotes vendidos para que a empresa tenha um lucro máximo qual deve ser o número de lotes vendidos nesse período?
A)2
B)3
C)6
D)7
E)8

Por favor explique como faço para resolver essa questão!

Answer 1

$\texttt{Observe que a fun\c{c}\~ao est\'a na forma fatorada, portanto}\\\texttt{vamos expand\'ila:}\\\\ 5\cdot(x-4)\cdot(8-x)~~~~(aplique~a~propriedade~distributiva)\\\\=5\cdot(8x-x^2-32+4x)\\\\=5\cdot(-x^2+12x-32)\\\\=-5x^2+60x-160\\\\\texttt{Essa \'e a fun\c{c}\~ao desejada, observe que o coeficiente "a"}\\\texttt{\'e negativo, logo, a par\'abola que representa essa fun\c{c}\~ao}\\\texttt{tem concavidade voltada para baixo (observe a imagem em}\\\texttt{anexo).}$


$\texttt{O v\'ertice dessa par\'abola representa o lucro m\'aximo}\\\texttt{da empresa, em fun\c{c}\~ao da quantidade de lotes vendidos.}\\\texttt{Portanto existe um valor de x que faz com que essa}\\\texttt{fun\c{c}\~ao atinja seu m\'aximo, esse x pode ser calculado por:}\\\\ \fbox{\fbox{ X_v=\dfrac{-b}{2a} }}\\\\\\ \texttt{Substituindo os valores e resolvendo:}\\\\X_v=\dfrac{-60}{2\cdot(-5)}\\\\\\X_v=\dfrac{-60}{-10}\\\\\\ \fbox{\fbox{ X_v=6 }}$

$\texttt{Portanto, quando x \'e 6 a fun\c{c}\~ao atinge seu valor m\'aximo,}$$\texttt{consequentemente, a empresa ter\'a o maior lucro poss\'ivel.}$