O lucro de uma empresa é dado pela lei L(x) = -x² + 8x -7, em que x é a quantidade vendida (em milhares de unidades) e L é o lucro (em milhares de reais).
a) Determine os valores de x para os quais o lucro é positivo.
b) Calcule a quantidade que se deve vender para obter lucro máximo.
c) Determine o lucro máximo.
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) 1 < X < 7 (milhares)
b) x = 4 milhares
c) LMax(4) = 9 milhares de Reais
Explicação passo-a-passo:
L(x) = -x² + 8x -7
O vértice da parábola corresponde ao ponto em que o gráfico de uma função do 2º grau muda de sentido. A função do segundo grau, também chamada de quadrática, é a função do tipo f(x) = ax2 + bx + c.
Usando um plano cartesiano, podemos traçar o gráfico de uma função quadrática considerando os pontos de coordenadas (x,y) que pertencem a função.
Coordenadas do Vértice
As coordenadas do vértice de uma função quadrática, dada por f(x) = ax2 + bx +c, podem ser encontradas através das seguintes fórmulas:
xv = - b/2a
yv = - ∆/4a
x com v subscrito igual a numerador menos b sobre denominador 2 a fim da fração
y com v subscrito igual a numerador menos incremento sobre denominador 4 a fim da fração
Sendo Δ = b2 - 4.a.c
a) x para lucro positivo
L(x) > 0
L(x) = -x² + 8x -7
- x² + 8x - 7 > 0
x > [- 8 ± √(8² - 4.7)]/2.(-1)
x > (- 8 ± √64 - 28)/(- 2)
x > (- 8 ± √36)/(- 2)
x > (- 8 ± 6)/(- 2)
x' > (- 8 + 6)/-2 > - 2/- 2 = 1
x" > (- 8 - 6)/- 2 = - 14/- 2 = 7
para lucro = 0
(1, 0) e (7, 0) * em milhares (1.000, 0) e (7.000, 0)
Verificação
L(x) = - x² + 8x - 7
L(1) = - 1² + 8.1 - 7 = - 1 + 8 - 7 = 0
L(2) = - 2² + 8.2 - 7 = - 4 + 16 - 7 = 16 - 11 = 5
L(3) = - 3² + 8.3 - 7 = 24 - 9 - 7 = 24 - 16 = 8
L(6) = - 6² + 8.6 - 7 = 48 - 36 - 7 = 48 - 43 = 5
Para se obter Lucro, deve-se vender uma quantidade maior que 1 e menor que 7 milhares.
1 < X < 7 (milhares)
b) Qtde x para Lucro máximo
x(Max) = - 8/2.(-1) = 8/2 = 4 milhares
Lmax(4) = - 4² + 8.4 - 7 = 32 - 16 - 7 = 32 - 23 = 9
Lmax(4) = 9 milhares