O lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L = R – C, onde L é o lucro, C o
custo da produção e R a receita do produto.
Uma fábrica de tratores produziu n unidades e verificou que o custo de produção era dado pela
função C(n) = n² – 1000n e a receita representada por R(n) = 5000n –2n².
Com base nas informações acima, a quantidade n de peças a serem produzidas para que o lucro
seja máximo corresponde a um número do intervalo
A) 580 < n < 720
B) 860 < n < 940
C) 980 < n < 1300
D) 1350 < n < 1800
Soluções para a tarefa
A quantidade n de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo corresponde a um número do intervalo 980 < n < 1300.
Primeiramente, vamos determinar a função que representa o lucro em função das unidades produzidas.
Como a receita é igual a R(n) = 5000n - 2n² e o custo é igual a C(n) = n² - 1000n, então, temos que o lucro é igual a:
L(n) = 5000n - 2n² - (n² - 1000n)
L(n) = 5000n - 2n² - n² + 1000n
L(n) = -3n² + 6000n.
Perceba que a função lucro é uma função do segundo grau, com parábola com concavidade para baixo.
Então, o ponto de máximo é o vértice da parábola.
Queremos saber a quantidade n de peças que torna o lucro máximo. Sendo assim, devemos calcular o valor do x do vértice.
O x do vértice de uma parábola é definido por xv = -b/2a.
Da função L, temos que a = -3 e b = 6000.
Logo,
xv = -6000/2.(-3)
xv = 1000.
Portanto, a alternativa correta é a letra c).
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