Question

O lucro anual em milhares de reais de uma empresa do setor de tecnologia é modelado pela função L(t)=3t^5-65t^3+540t+200, onde t=0 representa o ano de 2020.
a) Determinar os intervalos de anos, nos quais o lucro é crescente e os intervalos de anos nos quais o lucro é decrescimento

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades no estudo de intervalos de crescimento e derivadas.

Seja o lucro anual de uma empresa, em milhares de reais, modelada pela função: $\mathsf{L(t)=3t^5-65t^3+540t+200}$, em que $\mathsf{t=0}$ representa o ano de $\mathsf{2020}$.

Para encontrarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, devemos calcular os pontos críticos, utilizando o teste da primeira derivada e com o teste da segunda derivada, encontrarmos os pontos de máximo e mínimo.

Calculando a primeira derivada em respeito à variável $\mathsf{t}$, teremos:

$\mathsf{L'(t)=(3t^5-65t^3+540t+200)'}$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada pela regra do produto e da constante: $\mathsf{(a\cdot f(t))'=a\cdot f'(t),~a'=0.}$
• A derivada de uma potência é dada pela regra da potência: $\mathsf{(t^n)'= n\cdot t^{n-1}}$.

Aplique a regra da soma e do produto

$\mathsf{L'(t)=(3t^5)'+(-65t^3)'+(540t)'+(200)'}\\\\\\\ \mathsf{L'(t)=3\cdot(t^5)'-65\cdot(t^3)'+540\cdot(t)'+0}$

Calcule as derivadas das potências e multiplique os valores

$\mathsf{L'(t)=3\cdot5\cdot t^4-65\cdot3\cdot t^2+540\cdot 1}\\\\\\ \mathsf{L'(t)=15 t^4-195t^2+540}$

Então, igualamos esta primeira derivada a zero: os pontos críticos são pontos de inflexão, em que a inclinação da reta tangente ao gráfico da função neste ponto é igual a zero.

$\mathsf{15t^4-195t^2+540=0}$

Esta é uma equação biquadrada. Fazendo $\mathsf{r=t^2}$, teremos:

$\mathsf{15r^2-195r+540=0}$

Utilizando a fórmula resolutiva de uma equação quadrática, teremos:

$\mathsf{r=9~~ou~~r=4}$

Desfazendo a substituição e calculando o radical em ambos os lados da equação, teremos os pontos críticos:

$\mathsf{t=-3~~ou~~t=-2~~ou~~t=2~~ou~~t=3}$

Porém, considerando que a função foi modelada para valores de $\mathsf{t\geq0}$,  consideramos apenas as soluções:

$\mathsf{t=2~~ou~~t=3}$

Agora, calculamos a segunda derivada da função. Sabendo que $\mathsf{f''(t)=(f'(t))'}$, teremos:

$\mathsf{L''(t)=(15t^4-195t^2+540)'}$

Aplique novamente as regras enunciadas anteriormente

$\mathsf{L''(t)=60t^3-390t}$

Substituímos os pontos críticos que encontramos a partir da primeira derivada. Existem dois casos que os valores numéricos da segunda derivada nestes pontos determinam:

• Se $\mathsf{f''(a)>0}$, temos um mínimo local em $\mathsf{t=a}$.
• Se $\mathsf{f''(a)<0}$, temos um máximo local em $\mathsf{t=a}$.
• Se $\mathsf{f''(a)=0}$, nada se pode declarar sobre o ponto crítico $\mathsf{t=a}$.

Assim, teremos:

$\mathsf{L''(2)=60\cdot2^3-390\cdot2=480-780=-300}\\\\\\ \mathsf{L''(3)=60\cdot3^3-390\cdot3=1620-1170=450}$

Então, conclui-se que esta função lucro tem máximo local em $\mathsf{t=2}$ e mínimo local em $\mathsf{t=3}$.

Baseado nestes resultados, podemos classificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Lembre-se que:

• Os pontos antes de um ponto de máximo local determinam um intervalo de crescimento.
• Os pontos antes de um ponto de mínimo local determinam um intervalo de decrescimento.
• Os pontos entre máximo e mínimos locais, nesta ordem e vice-versa, determinam, respectivamente, intervalos de decrescimento e intervalo de crescimento.

Facilmente, conclui-se que:

Esta função tem um intervalo de crescimento em $\mathsf{[0,~2[}$, um intervalo de decrescimento em $\mathsf{]2,~3[}$ e um intervalo de crescimento em $\mathsf{]3,~\infty[}$.