Question

O logotipo de uma empresa é formado por uma estrela de seis pontas com um círculo interno e outro externo como mostra na figura (anexo)
Sabe-se que :
- o hexágono da figura é regular;
- os triângulos que formam a região destacada são equiláteros;
- o raio do círculo maior mede 1 dm
Adotando \pi = 3 e \sqrt{3} = 1,7, área destacada, em dm² vale aproximadamente ?

POR FAVOR ME AJUDEM, URGENTE

Answer 1

Bom dia

Considerando um triângulo equilátero (grande) inscrito no círculo maior temos:

$L_{3} =r \sqrt{3}\Rightarrow L_{3}=1* \sqrt{3} \Rightarrow \boxed {L_{3}= \sqrt{3} }$

O lado do triângulo equilátero menor é 1 / 3  do lado do triângulo maior e

igual ao raio do círculo menor , então

$l_{3}= \dfrac{ L_{3} }{3} = \dfrac{ \sqrt{3} }{3} dm=r$

A área de um triângulo pequeno é :


$S_{3}= \dfrac{ l^{2} \sqrt{3} }{4} \Rightarrow S_{3}= \dfrac{ ( \sqrt{3} )^{2}* \sqrt{3} }{4} \Rightarrow \boxed{ S_{3}= \dfrac{3 \sqrt{3} }{4} }$

Falta calcular o segmento circular

$S_{seg}= \dfrac{r}{2}*( \dfrac{ \pi rn}{180}-h )$

onde : n é o ângulo central  (60º) e h é a altura  ( $\frac{l \sqrt{3} }{2}$ )

$h= \dfrac{ \frac{ \sqrt{3} }{3}* \sqrt{3} }{2} = \dfrac{1}{2}$

$S_{seg}= \dfrac{ \dfrac{ \sqrt{3} }{3} }{2} *( \dfrac{3*( \dfrac{ \sqrt{3} }{3} )*60 }{180}- \dfrac{1}{2} )= \dfrac{ \dfrac{ \sqrt{3} }{3} }{2} *( \dfrac{ \sqrt{3} }{3} - \dfrac{1}{2} )$

$S_{seg}= \dfrac{ \sqrt{3} }{6}*( \dfrac{2 \sqrt{3}-3 }{6} )= \dfrac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}-3 \sqrt{3} }{36} = \dfrac{6-3 \sqrt{3} }{36} \\ \\ \\ S_{seg}= \dfrac{6-3*1,7}{36} = \dfrac{6-5,1}{36}= \dfrac{0,9}{36} = \boxed{0,025 }$

A área de cada "ponta" azul é a área de um triângulo menos a área de um

segmento.

$S= \dfrac{3 \sqrt{3} }{4} -0,025= \dfrac{3*1,7}{4} -0,025= \dfrac{5,1}{4}-0,025 \\ \\ \\ S= 1,275-0,025 =1,25 dm^{2}$

A área da figura colorida é 6*1,25dm² = 7,5dm²

Resposta  :  7,5dm²