Question

O logaritmo de x na base k é igual a 4 e, na base (2k), é igual a 2. Calcule x e k.

Answer 1

Resolver o sistema de equações:

$\left\{ \begin{array}{c} \mathrm{\ell og}_{k\,}x=4\\ \mathrm{\ell og}_{2k\,}x=2\\ \end{array}\right.$

Restrições:

$\bullet\;\;$ Como $k$ é base de um logaritmo, devemos ter $k>0$ e $k \neq 1$

$\bullet\;\;$ Como $2k$ também é base de um logaritmo, devemos ter $k>0$ e $k \neq 1/2$



Aplicando a definição de logaritmo às duas equações, chegamos a

$\left\{ \begin{array}{l} x=k^{4}\\ x=\left(2k \right )^{2} \end{array}\right.\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x=k^{4}\\ x=4k^{2} \end{array}\right.$


Igualando as duas igualdades, temos

$k^{4}=4k^{2}\\ \\ k^{4}-4k^{2}=0\\ \\ k^{2}\cdot \left(k^{2}-4 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} k^{2}=0&\text{ ou }&k^{2}-4=0\\ \\ k=0&\text{ ou }&k^{2}=4\\ \\ k=0&\text{ ou }&k=\pm 2 \end{array}$


De acordo com as restrições estabelecidas inicialmente, os valores

$k=0\;\;\text{ e }\;\;k=-2$

não servem como solução para este problema. Logo, devemos ter

$k=2$


Substituindo o valor de $k$ na primeira equação do sistema, temos

$x=k^{4}\\ \\ x=2^{4}\\ \\ x=16$


Resposta: $x=16\;\;\text{ e }\;\;k=2$