Matemática, perguntado por stanleyharrison, 1 ano atrás

O logaritmo de um número ''a'' na base ''b'' é 3. O logaritmo desse mesmo número numa base igual à metade da anterior é 6. Nessas condições, determine os valores numéricos de ''a'' e ''b''.

Soluções para a tarefa

Respondido por Niiya
32
O logaritmo de a na base b é 3:

log_{b}(a)=3~~~~\therefore~~~~b^{3}=a

O logaritmo de a na base (b / 2) é 6:

log_{(\frac{b}{2})}(a)=6~~~~\therefore~~~~\left(\dfrac{b}{2}\right)^{6}=a

Manipulando:

\dfrac{b^{6}}{2^{6}}=a\\\\\\\dfrac{(b^{3})^{2}}{64}=a

Como b³ = a:

\dfrac{a^{2}}{64}=a

Passando 64 pro outro lado:

a^{2}=64a\\\\a^{2}-64a=0\\\\a(a-64)=0~\begin{cases}a=0\\a-64=0~~~\therefore ~~~a=64\end{cases}

Como um logaritmando é um número positivo e diferente de zero, descartamos a = 0

\boxed{\boxed{a=64}}

Com isso, achamos b:

b^{3}=a\\\\b^{3}=64\\\\b^{3}=4^{3}\\\\\boxed{\boxed{b=4}}
Respondido por Usuário anônimo
5

Aplicando critérios e propriedades operatórias logarítmicas

                     log(b)a=3          
                                                     a= b^3        (1)
                     log( \frac{b}{2})a=6
                                                     a= (\frac{b}{2} )^6        (2)

         Resolvendo sistema (1) (2)
                             a=a \\  \\ b^3= (\frac{b}{2})^6 \\  \\ b^3= \frac{b^6}{2^6}   \\  \\ 2^6= \frac{b^6}{b^3}  \\  \\ 64= b^{6-3}  \\  \\ 4^3=b^3

                             Expoentes iguais, bases iguais
                                                                                 b = 4

                             Em (1)
                                a=4^3
                                                                                 a = 64
                              
                    
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