o logaritmo de 132334 na base 4 não é um número inteiro. Sendo assim, podemos afirmar que log4 132334 é um número:
a) Entre 6 e 7
b) Entre 8 e 9
c) Entre 10 e 11
d) Entre 5 e 6
e) Entre 4 e 5
Soluções para a tarefa
Basta descobrimos entre quais potências de 4 132334 está. Listemos as potências de 4:
4^1 = 4
4^2 = 16
4^3 = 64
4^4 = 256
4^5 = 1.024
4^6 = 4.096
4^7 = 16.384
4^8 = 65.536
4^9 = 262.144
Vemos que 4^8 < 132.334 < 4^9, portanto, aplicando o logaritmo base 4 na desigualdade, temos 8 < log4(132.334) < 9.
b) Entre 8 e 9.
Eu determino a característica do logaritmo de um número pelo método das divisões sucessivas do logaritmando pela base até que o quociente resulte menor que a base.
132334 / 4 = 33083
33083 / 4 = 8270
8270 / 4 = 2067
2067 / 4 = 516
516 / 4 = 129
129 / 4 = 32
32 / 4 = 8
8 / 4 = 2 (paro aqui porque o quociente se tornou menor que a base)
A característica do logaritmo será a quantidade de vezes que eu dividi o logaritmando pela base 4.Logo, log₄ 132334 ≈ 8
Só por curiosidade, poderíamos também calcular a mantissa do logaritmo mas deveríamos guardar as casas decimais de cada divisão.
No final, quando o quociente se tornar menor que a base, eleva-se o quociente à base 4 e repete-se o processo das divisões sucessivas pela base.
Só como exemplo vou calcular os dois primeiros dígitos da mantissa.
8 / 4 = 2,019256591796875 (paro aqui porque o quociente se tornou menor que a base)
Agora elevo o quociente ao valor da base que é 4:
2,019256591796875⁴ = 16,625167792137126727448903640294
E recomeço as divisões sucessivas:
16,625 / 4 = 4,1562919
4,1562919 / 4 = 1,0390729870085704204655564775184
Como eu consegui dividir 2 vezes pela base, o primeiro dígito da mantissa é 2, ficando 8,2.
Agora elevemos o último resultado ao valor representado pela base:
1,03907298⁴ = 1,1656930793781744982676434850919
Como o valor é menor que a base então consigo dividi-lo pela base 0 vezes. Logo, o próximo dígito da mantissa é 0, ficando 8,20
Elevemos novamente o resultado ao valor representado pela base
1,16569307937⁴ = 1,8464471112194718547828671689594
Novamente 0, ficando 8,200
1,8464471112⁴ = 11,623782894271485157158432032204
11,623782894 / 4 = 2,9059457235678712892896080080509
Consegui dividir apenas 1 vez. Logo:
log₄ 132334 = 8,2001....